考点13 解直角三角形-2021年中考数学高频考点专题突破（全国通用）（原卷版）

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考点 13. 解直角三角形

知识框架：

基础知识点：

知识点 1-1 直角三角形与勾股定理

1．直角三角形

定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形．

性质：（1）直角三角形两锐角互余；

（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；

（3）在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．

判定：（1）两个内角互余的三角形是直角三角形；

（2）三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．

2．勾股定理及逆定理

（1）勾股定理：直角三角形的两条直角边 a、b的平方和等于斜边 c的平方，即：a2+b2=c2．

（2）勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边 a、b、c有关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．

知识点 1-2 锐角三角函数的定义

在Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b，

正弦：sinA=；余弦：cosA=；正切：tanA=．

根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助

线来构造直角三角形.

知识点 1-3 特殊角的三角函数值

αsinαcosαtanα

30°

45° 1

60°

知识点 1-4 解直角三角形

1．在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已

知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形．

2．解直角三角形的常用关系：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，则：1）三边关系：a2+b2=c2； 2）两锐角关系：

∠A+∠B=90°；3）边与角关系：sinA=cosB=，cosA=sinB=，tanA=； 4）sin2A+cos2A=1．

3．科学选择解直角三角形的方法口诀：

已知斜边求直边，正弦、余弦很方便；已知直边求直边，理所当然用正切；

已知两边求一边，勾股定理最方便；已知两边求一角，函数关系要记牢；

已知锐角求锐角，互余关系不能少；已知直边求斜边，用除还需正余弦.

知识点 1-5 解直角三角形的应用

1）．仰角和俯角

仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角．

俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角．

2）．坡度和坡角

坡度：坡面的铅直高度 h和水平宽度 l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作 i=．

坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作 α，i=tanα．坡度越大，α角越大，坡面越陡．

3)．方向角（或方位角）

指北或指南方向线与目标方向线所成的小于 90°的水平角叫做方向角．

4．解直角三角形中“双直角三角形”的基本模型：

解题方法：这两种模型种都有一条公共的直角边，解题时，往往通过这条边为中介在两个三角形中依次求

边，或通过公共边相等，列方程求解.

5．解直角三角形实际应用的一般步骤

1）弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；

2）将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；

3）选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；

4）得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解．

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