非选择题专练10 函数动点问题—2021年《三步冲刺中考•数学》（广东专版）之第2步大题夺高分 （解析版）

3.0 envi 2025-04-16 23 4 228.66KB 30 页 3知币
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第二步 大题夺高分
专题 10 函数动点问题
1．（2020 昆明）如图，两条抛物线 y1＝﹣x2+4，y2=x2+bx+c相交于 A，B两点，点 A在x轴负半轴上，
且为抛物线 y2的最高点．
（1）求抛物线 y2的解析式和点 B的坐标；
（2）点 C是抛物线 y1上A，B之间的一点，过点 C作x轴的垂线交 y2于点 D，当线段 CD 取最大值时，
求S△BCD．
【分析】（1）由抛物线 y1＝﹣x2+4，可求出与 x轴的交点 A的坐标，再根据点 A是抛物线 y2
¿−1
5
x2+bx+c，可求出 b、c的值，从而确定函数关系式；两个函数的关系式组成方程组求出交点坐标即可；
（2）由 CD＝y1﹣y2得到一个二次函数的关系式，再利用函数的最值，求出相应的 x的值，及 CD 的最
大值，进而计算出三角形的面积．
【解析】（1）当 y＝0时，即﹣x2+4＝0，解得 x＝2或x＝﹣2，
又点 A在x轴的负半轴，
∴点 A（﹣2，0），
∵点 A（﹣2，0），是抛物线 y2的最高点．
∴
−b
2×(−1
5)
=−
2，即 b
¿−4
5
，
把A（﹣2，0）代入 y2
¿−1
5
x2
−4
5
x+c得，c
¿−4
5
，
∴抛物线 y2的解析式为：y2
¿−1
5
x2
−4
5
x
−4
5
；
由
得，
{
x1=−2
y1=0
，
{
x2=3
y2=−5
，
∵A（﹣2，0），
∴点 B（3，﹣5），
答：抛物线 y2的解析式为：y2
¿−1
5
x2
−4
5
x
−4
5
，点 B（3，﹣5）；
（2）由题意得，CD＝y1﹣y2＝﹣x2+4﹣（
−1
5
x2
−4
5
x
−4
5
），
即：CD
¿−4
5
x2
+4
5
x
+24
5
，
当x
¿−b
2a=1
2
时，CD 最大
¿−4
5×1
4+4
5×1
2+24
5=¿
5，
∴S△BCD
¿1
2×
5×（3
−1
2
）
¿25
4
．
2． （ 2020 邵 阳 ） 如 图 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 矩 形 ABCD 的 边 BC 与x轴 、 y轴 的 交 点 分 别 为
C（8，0），B（0，6），CD＝5，抛物线 y＝ax2
−15
4
x+c（a≠0）过 B，C两点，动点 M从点 D开始以
每秒 5个单位长度的速度沿 D→A→B→C的方向运动到达 C点后停止运动．动点 N从点 O以每秒 4个单
位长度的速度沿 OC 方向运动，到达 C点后，立即返回，向 CO 方向运动，到达 O点后，又立即返回，
依此在线段 OC 上反复运动，当点 M停止运动时，点 N也停止运动，设运动时间为 t．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求点 D的坐标；
（3）当点 M，N同时开始运动时，若以点 M，D，C为顶点的三角形与以点 B，O，N为顶点的三角形
相似，求 t的值；
（4）过点 D与x轴平行的直线，交抛物线的对称轴于点 Q，将线段 BA 沿过点 B的直线翻折，点 A的对
称点为 A'，求 A'Q+QN+DN 的最小值．
【分析】（1）将 C（8，0），B（0，6）代入
y=a x2−15
4x+c
计算即可；
（2）作 DE⊥x于点 E，证明△BOC～△CED，可得 CE，DE 长度，进而得到点 D的坐标；
（3）分为点 M在AD，BC 上两种情况讨论，当点 M在AD 上时，分为△BON～△CDM 和△BON～
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