《中考数学必考的十五种类型大题夺分技巧再训练》专题12存在性问题（解析版）

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专题 12 存在性问题
1.如图，已知 A（1，2）、B（5，3）、C（3，5），试在平面内找一点 D，使得以 A、B、C、D四个点为顶
点的四边形是平行四边形.
【解答】见解析
【解析】设 D（m，n），通过对角线互相平分，分类讨论：
①当 BC 为对角线时，则有 ，此时
②当 AC 为对角线时，则有 ，此时
③当 AB 为对角线时，则有 ，此时 ，具体如图所示：
2.如图，在平面直角坐标系中，直线 与 轴、 轴分别交于点 ，点 C的坐标为
，过点 C作 于点 E，点 D为 轴正半轴的一动点，且满足 ，连接 DE，以
1
DE、DA 为边作平行四边形 DEFA，若平行四边形 DEFA 为矩形，求 的值；
x
y
F
E
C
D
B
A
O
【解答】（1） 或
【解析】（1）在 中， ，
在 中，
，
当四边形 DEFA 是矩形时，在 中， ，
x
x
图2
图1
D
F
E
B
A
O
D
F
E
C
B
A
O
C
①如图 1，当点 C在 轴上方时，
2
可得方程 ，解得 ；
②如图 2，当点 C在 轴下方时，
可得方程 ，解得 .
3.如图，在矩形 ABCD 中，AB＝16cm，AD＝6cm，动点 P，Q分别从点 A，C同时出发，点 P以每秒 3cm 的
速度向点 B移动，点 Q以每秒 2cm 测得速度向点 D移动，当点 P到达点 B处时，两点均停止移动，问：
（1）P，Q两点出发多长时间，线段 PQ 的长度为 10cm？
（2）是否存在某一时刻，使四边形 PBCQ 为正方形？若存在，求出该时刻；若不存在，请说明理由．
【解答】（1）P，Q两点出发 或 秒，线段 PQ 的长度为 10cm
；（
2
）
不存在
【解析】（1）过点 P作PH⊥CD 于点 H，如图所示：
∴HQ＝16 5﹣t，
∴PQ2＝PH2+HQ2，
即102＝（16 5﹣t）2+62，
解得 ，
答：P，Q两点出发 或 秒，线段 PQ 的长度为 10cm；
（2）∵四边形 PBCQ 是正方形，
∴BP＝CQ，即 16 3﹣t＝2t，
3
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