《中考数学重难点专项突破（全国通用）》专题14 动点在四边形中的分类讨论(基础训练)(解析版)

3.0 envi 2025-04-17 23 4 403.93KB 10 页 3知币

侵权投诉

专题 14 动点在四边形中的分类讨论

【专题说明】

动点问题是中考中非常重要的一类问题，也是中考中的热点问题。动点问题体现了数学中变化的思想，

分类讨论的思想，对学生综合运用知识的能力要求非常高。

四边形中的动点问题是一类非常重要的问题，它将三角形和平行四边形、矩形、菱形、正方形结合在

一起进行考察。

一、解题基本思路

解决动点问题的思路，要注意以下几点：[来源:学.科.网Z.X.X.K]

1、设出未知数

动点问题一般都是求点的运动时间，通常设运动时间为 t

2、动点的运动路径就是线段长度

题目通常会给动点的运动速度例如每秒两个单位，那么运动路程就是 2t 个单位。而 2t 也就是这个点所

运动的线段长。进而能表示其他相关线段的长度。[来源:学_科_网Z_X_X_K]

所以我们在做动点问题的时候，第一步就是把图形中的线段都用含 t的代数式来表示。

3、方程思想求出时间

动点问题通常都是用方程来解决，根据题目找到线段之间的等量关系，然后用含有 t的代数式表示出

来，列出方程求解出 t的值。

4、难点是找等量关系

这种题的难点是找到等量关系。这个等量关系往往不是题目中用语言叙述出来的，而是同学们根据题

型自己挖掘出来的等量关系，所以对同学们图形分解的能力以及灵活运用知识的能力要求非常高。

5、注意分类讨论

因为点的运动的位置不同，形成的图形就不同，符合结论的情况可能就不止一种，所以做动点问题要注意

分类讨论。

【精典例题】

1、如图，在矩形 ABCD 中，BC=20cm，P，Q，M，N分别从 A

，

B，C，D出发沿 AD，BC，CB，DA 方向

在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止．已知在相同时间内，

若BQ=xcm( )，则 AP=2xcm，C M=3xcm，DN=x2cm．

（1）当 x为何值时，以 PQ，MN 为两边,以矩形的边（AD 或BC）的一部分为第三边构成一个三角形；

（2）当 x 为何值时，以 P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形；

（3）以 P，Q，M，N为顶点的四边形能否为等腰梯形?如果能，求 x的值；如果不能，请说明理由．

【解析】（1）当点 P与点 N重合或点 Q与点 M重合时，以 PQ，MN 为两边，以矩形的边（AD 或BC）的

一部分为第三边可能构成一个三角形．

①当点 P与点 N重合时，

1 2

2 20 21 1 21 1x x x x      由，得，

（舍去）．

因为 BQ+CM=

3 4( 21 1) 20x x   

，此时点 Q与点 M不重合．所以

21 1x 

符合题意．

②当点 Q与点 M重合时，

3 20, 5x x x  由得

．此时

25 20DN x  

，不符合题意．故点 Q与点 M不能重合．

所以所求 x的值为

21 1

．

（2）由（1）知，点 Q 只能在点 M的左侧，

①当点 P在点 N的左侧时，由

20 ( 3 ) 20 (2 )x x x x    

，解得

1 2

0( ) 2x x 舍去，

．

当x=2 时四边形 PQMN 是平行四边形．

②当点 P在点 N的右侧时，由

20 ( 3 ) (2 ) 20x x x x    

，解得

1 2

10( ) 4x x  舍去，

．

当x=4 时四边形 NQMP 是平行四边形．所以当

2 4x x 或

时，以 P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四

边形．

（3）过点 Q，M分别作 AD 的垂线，垂足分别为点 E，F．由于 2x>x，所以点 E一定在点 P的左侧．

若以 P，Q，M，N为顶点的四边形是等腰梯形，则点 F一定在点 N的右侧，且 PE=NF，

即

2 3x x x x  

．解得

1 2

0( ) 4x x 舍去，

．

由于当 x=4 时，以 P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形，所以,以P，Q，M，N为顶点的四边形不

能为等腰梯形

2、如图 1，在平面直角坐标系中，已知矩形 ABCD 的三个顶点 B(1, 0)、C(3, 0)、D(3, 4)．以 A为顶点的抛

物线 y＝ax2＋bx＋c过点 C．动点 P从点 A出发，沿线段 AB 向点 B运动，同时动点 Q从点 C出发，沿线段

CD 向点 D运动．点 P、Q的运动速度均为每秒 1个单位，运动时间为 t秒．过点 P作PE⊥AB 交AC 于点

E．

（1）直接写出点 A的坐标，并求出抛物线的解析式；

（2）过点 E作EF⊥AD 于F，交抛物线于点 G，当 t为何值时，△ACG 的面积最大？最大值为多少？

（3）在动点 P、Q运动的过程中，当 t为何值时，在矩形 ABCD 内（包括边界）存在点 H，使以

C、Q、E、H为顶点的四边形为菱形？请直接写出 t的值．

图1

思路点拨

1．把△ACG 分割成以 GE 为公共底边的两个三角形，高的和等于 AD．

2．用含有 t的式子把图形中能够表示的线段和点的坐标都表示出来．

3．构造以 C、Q、E、H为顶点的平行四边形，再用邻边相等列方程验证菱形是否存在．

满分解答

（1）A(1, 4)．因为抛物线的顶点为 A，设抛物线的解析式为 y＝a(x－1)2＋4，[来源:学&科&网]

代入点 C(3, 0)，可得 a＝－1．

所以抛物线的解析式为 y＝－(x－1)2＋4＝－x2＋2x＋3．

（2）因为 PE//BC，所以．因此．

所以点 E的横坐标为．

将代入抛物线的解析式，y＝－(x－1)2＋4＝．

所以点 G的纵坐标为．于是得到．

文档加载中……请稍候！
如果长时间未打开，您也可以点击刷新试试。

下载文档到电脑，查找使用更方便

3 知币 4人已下载

立即下载

《中考数学重难点专项突破（全国通用）》专题14 动点在四边形中的分类讨论(基础训练)(解析版).docx

共10页,预览3页

还剩页未读，继续阅读

《中考数学重难点专项突破（全国通用）》专题14 动点在四边形中的分类讨论(基础训练)(解析版)

相关推荐

开通VIP享超值会员特权

作者详情

相关内容

推荐作者

热门标签

举报选择: