专题05 动点与特殊三角形存在性问题大视野（原卷版）

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专题 05 动点与特殊三角形存在性问题大视野

【例题精讲】

题型一、等腰三角形存在性问题

例1. 【2019·黄石期中】如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，AB=2cm，E、F分别是 AB、AC

的中点，动点 P从点 E出发，沿 EF 方向匀速运动，速度为 1cm/s，同时动点 Q从点 B出发，沿 BF 方向匀

速运动，速度为 2cm/s，连接 PQ，设运动时间为 ts（0＜t＜1），则当 t=______时，△PQF 为等腰三角形．

例2. 【2019·广州市番禺区期末】已知：如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=5cm，AC=3cm，动点 P从点

B出发沿射线 BC 以1cm/s的速度移动，设运动的时间为 t秒．

（1）求 BC 边的长；

（2）当△ABP 为直角三角形时，求 t的值；

（3）当△ABP 为等腰三角形时，求 t的值．

例3. 【2019·乐亭县期末】如图，矩形 OABC 的顶点 A，C分别在坐标轴上，B（8，7），D（5，0），点 P

是边 AB 或边 BC 上的一点，连接 OP，DP，当△ODP 为等腰三角形时，点 P的坐标为______．

题型二、直角三角形存在性问题

例1. 【2019·厦门六中月考】如图，在 RtΔABC 中，∠B=90°，AC=60，∠A=60°．点 D从点 C出发沿 CA 方

向以每秒 4个单位长的速度向点 A匀速运动，同时点 E从点 A出发沿 AB 方向以每秒 2个单位长的速度向

点B匀速运动，设点 D、E运动的时间是 t秒(0<t≤15)．过点 D作DF⊥BC 于点 F，连接 DE、EF．

（1）求证：AE=DF；

（2）四边形 AEFD 能够成为菱形吗？如果能，求出相应的 t值；如果不能，说明理由．

（3）当 t为何值时，ΔDEF 为直角三角形？请说明理由．

题型三、等腰直角三角形存在性问题

例1. 【2019·株洲市期末】（1）操作思考：如图 1，在平面直角坐标系中，等腰 Rt△ACB 的直角顶点 C在

原点，将其绕着点 O旋转，若顶点 A恰好落在点（1，2）处．则① OA 的长为______；②点 B的坐标为___

___．（直接写结果）

（2）感悟应用：如图 2，在平面直角坐标系中，将等腰 Rt△ACB 如图放置，直角顶点 C（-1，0），点

A（0，4），试求直线 AB 的函数表达式．

（3）拓展研究：如图 3，在直角坐标系中，点 B（4，3），过点 B作BA⊥y轴，垂足为点 A，作 BC⊥x轴，

垂足为点 C，P是线段 BC 上的一个动点，点 Q是直线 y=2x-6 上一动点．问是否存在以点 P为直角顶点的

等腰 Rt△APQ，若存在，请求出此时 P的坐标，若不存在，请说明理由．

【刻意练习】

1. 【2019·大连市期末】如图，直线 x=t与直线 y=x和直线 y=x+2 分别交于点 D、E（E在D的上方）．

（1）直线 y=x和直线 y=x+2 交于点 Q，点 Q的坐标为______；

（2）求线段 DE 的长（用含 t的代数式表示）；

（3）点 P是y轴上一动点，且△PDE 为等腰直角三角形，求 t的值及点 P的坐标．

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