第一章 第11课 角平分线的应用-八年级数学下册精品导学案（北师大版）

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第一章 三角形的证明
第11 课 角平分线的应用
一、新课学习
三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等
二、典例分析
知识点一：三角形三内角平分线的性质的运用
例1：已知，在△ABC 中，∠ABC=90°，点 O为△ABC 的三条角平分线的交点，
OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，点 D、E、F是垂足，且 AB=10，BC=8，则点 O到三边 AB、AC 和BC 的
距离分别是？
【解析】如图，
连接 OB，
∵点 O为△ABC 的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，点 D、E、F分别是垂足，
∴OE=OF=OD，
又∵OB 是公共边，∴Rt△BOF≌Rt△BOD（HL），∴BD=BF，
同理，AE=AF，CE=CD，
1
∵∠C=90°，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，OD=OE，
∴OECD 是正方形，
设OE=OF=OD=x，则 CE=CD=x，BD=BF=8-x，AF=AE=6-x，
∴BF+FA=AB=10，即 6-x+8-x=10，
解得 x=2．
则OE=OF=OD=2.
练习：如图，AD 是△ABC 中∠BAC 的平分线，DE⊥AB 交AB 于点 E，DF⊥AC 交AC 于点 F，若
S△ABC=7，DE=2，AB=4，则 AC 的长为？
【解析】∵AD 是△ABC 中∠BAC 的平分线，DE⊥AB 于点 E，DF⊥AC 交AC 于点 F，
∴DF=DE=2．
又∵ ，AB=4，
∴ ，∴AC=3．
知识点二角平分线与线段垂直平分线的性质的综合运用
例2：如图，△ABC 中，F为BC 的中点，FD⊥BC，交∠BAC 的平分线于 D，DE⊥AC 于E，求证：
AB+AC=2AE．
【解析】连接 DB、DC，作 DG⊥AB 于G，如图所示：
2
则∠G=90°，
∵AD 平分∠BAC，DE⊥AC 于E，
∴∠BAD=∠CAD，DG=DE，∠DEC=90°，
∵F为BC 的中点，FD⊥BC，∴DB=DC，
∵ ∴Rt△BDG≌Rt△CDE（HL），
∴BG=CE，
在△ADG 和△ADE 中，
∴△ADG≌△ADE（ASA），∴AG=AE，
∵AB=AG-BG，AC=AE+CE，
∴AB+AC=2AE．
练习：已知，AE 平分∠FAC，EF⊥AF，∠AGE=90°，DE 是BC 垂直平分线，求证：BF=CG．
【解析】∵AE 平分∠FAC，EF⊥AF，∠AGE=90°，
即EG⊥AC，∴EF=EG．
∵DE 是BC 垂直平分线，∴BE=EC，
在直角△BEF 和直角△CEG 中， ，
∴直角△BEF≌直角△CEG，∴BF=CG．
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