《决胜中考数学考前抢分冲刺（全国通用）》专题14 二次函数经典(解析版）

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专题 13 二次函数经典 (解析版）
二次函数每年都是中考数学的压轴大戏，解决二次函数压轴题，是挑战满分的必备技能。
妙杀函数压轴题：
1.必会八大黄金公式。（专题 11）
2.函数动点题的钥匙：动点三步曲：
点（即所用到的点的坐标），
线：用点的坐标表示出：两点间距离，图像函数表达式，中点的坐标等。
式：分情况列出函数关系式或方程。
求解即可。
3.函数类万能辅助线------向两轴作垂线
4.函数类万能辅助形------万能矩形。 
5.动点成形： 
1) 等腰：1.先确定三点坐标 2.求出三边长度。3.两两相等得方程。
2) 直角：1.先确定三点坐标 2.求出三边长度。3.利用勾股，分情况列方程。
3) 平行四边形：1.先确定四个顶点的坐标。2.确定对角线。3.表示出每组对角线的中点坐标。4.两组对角
线中点的横纵坐标相等，可得方程组。
4) 矩形：多借助图。1.一种情况。可以利用垂直公式，中点公式。
2.多种情况：先判断成平行四边形。再利用垂直公式求解。
5) 菱形：先判断成平行四边形。再利用距离公式（邻边相等）求解。
6) 相似：1.先确定原三角形形状。2.利用距离公式求长。3.利用对应边成比例，分情况列式。
 1．如图，抛物线 y＝ax2+bx+c的顶点 C的坐标是（6，﹣4），它的图象经过点 A（4，0），其对称轴与 x
1
轴交于点 D．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点 E是抛物线对称轴上一动点，点 F是y轴上一动点，且点 E、F在运动过程中始终保持
DF⊥OE，垂足为点 N，连接 CN，当 CN 最短时，求点 N的坐标；
（3）连接 AC（若点 P是x轴下方抛物线上一动点（点 P与顶点 C不重合），过点 P作PM⊥AC 于点
M，是否存在点 P，使 PM、CM 的长度是 2倍关系．若存在，求出此时点 P的坐标；若不存在，说明理
由．
【分析】（1）由题意可设抛物线的解析式为 y＝a（x6﹣）24﹣，再将点 A（4，0）代入，解得 a的值，
则可求得该抛物线的解析式；
（2）由题意可得点 N是以 OD 为直径的圆上的一动点，设以 OD 为直径的圆的圆心为点 G，连接 CG，
交⊙G于点 N'，此时 CN'即为最短的 CN，过点 N'作N'B⊥x轴于点 B，判定△GBN'∽△GDC，从而得比
例式，解得 N'B
¿12
5
，GB
¿9
5
，根据 OB＝OG+GB，求得 OB，则可得点 N的坐标；
（3）存在点 P，使 PM、CM 的长度是 2倍关系．分情况讨论：①当点 P在抛物线的对称轴的右侧时，
PM＝2CM，△PCM∽△CAD，如图 2，延长 CP 交x轴于点 Q，设 Q（m，0），则（m4﹣）2＝（m﹣
6）2+42，解得 m的值，则可得点 Q的坐标，用待定系数法求得直线 CQ 的解析式，将其与抛物线的解
析式联立，即可解得点 P的坐标；②当点 P在抛物线对称轴的左侧时，CM＝2PM，△PCM∽△ACD，
如图 3， 过 点 A作AH⊥AC ，交 CP 的延 长线于 点 H， 过点 H作HK⊥x轴， 交 x轴于点 K， 判定
△HCA∽△ACD，△AHK∽△CAD，用待定系数法求得直线 CH 的解析式，将其与抛物线的解析式联立，
即可解得点 P的坐标．
答案详解:（1）由题意可设抛物线的解析式为 y＝a（x6﹣）24﹣，
2
∵图象经过点 A（4，0），
∴a（4 6﹣）24﹣＝0，
∴a＝1，
∴y＝（x6﹣）24﹣＝x212﹣x+32，
∴该抛物线的解析式为 y＝x212﹣x+32；
（2）如图 1，
∵点 E、F在运动过程中始终保持 DF⊥OE，
∴点 N是以 OD 为直径的圆上的一动点，
设以 OD 为直径的圆的圆心为点 G，连接 CG，交⊙G于点 N'，此时 CN'即为最短的 CN，过点 N'作
N'B⊥x轴于点 B，
由已知得 OD＝6，CD＝4，
∴GD＝3，CG＝5，
∵N'B⊥x轴，CD⊥x轴，
∴N'B∥CD，
∴△GBN'∽△GDC，
∴
GB
GD =N ' B
CD =N ' G
CG =3
5
，
∴N'B
¿12
5
，GB
¿9
5
，
∴OB＝OG+GB
＝3
+9
5
¿24
5
，
∴点 N的坐标为（
24
5
，
）；
（3）存在点 P，使 PM、CM 的长度是 2倍关系．
∵A（4，0），D（6，0），
∴AD＝2，
∵
AD
DC =2
4=1
2
，∠ADC＝90°，
∴当 PM、CM 的长度是 2倍关系时，△PCM 与△ACD 相似．
3
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