《决胜中考数学考前抢分冲刺（全国通用）》专题10 数与式的经典易错题 (解析版）

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专题 10 数与式经典易错题 (解析版）
易错考点:
错点 1：求分式值为零时学生易忽略分母不能为零。
　　易错点 2：实数的运算要掌握好与实数有关的概念、性质，灵活地运用各种运算律，关键是把好符号
关；在较复杂的运算中，不注意运算顺序或者不合理使用运算律，从而使运算出现错误。
　　易错点 3：平方根、算术平方根、立方根的区别。填空题或选择必考。
　　易错点 4：有理数、无理数以及实数的有关概念理解错误，相反数、倒数、绝对值的意义概念混淆。
以及绝对值与数的分类。每年选择必考知识点。
　　易错点 5：分式运算时要注意运算法则和符号的变化。当分式的分子分母是多项式时要先因式分解，
因式分解要分解到不能再分解为止，注意计算方法，不能去分母，把分式化为最简分式。经典易错知识点。
　　易错点 6：代入求值要使式子有意义。各种数式的计算方法要掌握，一定要注意计算顺序。(巧妙代入:
先正不选负,选小不选大,能选 0,则选 0.)
一．相反数
1．﹣（﹣6）的相反数是（　　）
A．
1
5
B．
1
3
C．﹣6 D．6
思路引领：根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号，求解即可．
答案详解：﹣（﹣6）＝6，所以﹣（﹣6）的相反数是﹣6．所以选：C．
二．数轴
2．如图，数轴上的 A，B，C三点所表示的数分别为 a，b，c，且原点为 O，根据图中各点位置，判断下列
四个式子的值何者最大？（　　）
A．|a|+|b| B．|a|+|c| C．|a﹣c| D．|b﹣c|
思路引领：此题的四个选项都与绝对值有关，可将每个算式都转化为以点 A、B、C、O为端点的某条线
段的长度，然后进行比较，得出结论．
答案详解：由数轴和绝对值的意义，得|a|+|b|＝AB，|a|+|c|＝AC，|a﹣c|＝AC，|b﹣c|＝BC，
∵AB＞AC＞BC，
∴AB 最大，
即|a|+|b|的值最大，所以选：A．
3．数轴上点 A表示的数是﹣3，将点 A在数轴上平移 7个单位长度得到点 B．则点 B表示的数是（　　）
A．4 B．﹣4或10 C．﹣10 D．4或﹣10
思路引领：根据题意，分两种情况，数轴上的点右移加，左移减，求出点 B表示的数是多少即可．
1
答案详解：点A表示的数是﹣3，左移 7个单位，得﹣3 7﹣＝﹣10，
点A表示的数是﹣3，右移 7个单位，得﹣3+7＝4．
所以点 B表示的数是 4或﹣10．所以选：D．
三．有理数的乘方
4．﹣12020＝（　　）
A．1 B．﹣1 C．2020 D．﹣2020
思路引领：根据有理数的乘方运算，即可得出答案．
答案详解：﹣12020＝﹣1．所以选：B．
四．平方根
5．一个正数的平方根分别是 x+1 和x5﹣，则 x＝　 2 　 ．
思路引领：根据正数的两个平方根互为相反数列出关于 x的方程，解之可得．
答案详解：根据题意知 x+1+x5﹣＝0，
解得：x＝2，所以答案为：2．
五．算术平方根
6．
√
4
的算术平方根是（　　）
A．
±
√
2
B．
√
2
C．±2 D．2
思路引领：直接利用算术平方根的定义得出即可．
答案详解：
√
4=¿
2，2的算术平方根是
√
2
．所以选：B．
7．观察下列各式及其验证过程：
验证：
；
验证：
2
√
2
3=
√
23
3=
√
(23−2)+2
22−1=
√
2(22−1)+2
22−1=
√
2+2
3
；
验证：
3
√
3
8=
√
3+3
8
；
验证：
3
√
3
8=
√
33
8=
√
(33−3)+3
32−1=
√
3(32−1)+3
32−1=
√
3+3
8
．
（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想 4
√
4
15
的变形结果并进行验证；
（2）针对上述各式反映的规律，写出用 n（n为任意自然数，且 n≥2）表示的等式，并给出证明．
思路引领：（1）通过观察，不难发现：等式的变形过程利用了二次根式的性质 a
¿
√
a2
（a≥0），把根号
2
外的移到根号内；再根据“同分母的分式相加，分母不变，分子相加”这一法则的倒用来进行拆分，同
时要注意因式分解进行约分，最后结果中的被开方数是两个数相加，两个加数分别是左边根号外的和根
号内的；
（2）根据上述变形过程的规律，即可推广到一般．表示左边的式子时，注意根号外的和根号内的分子
分母之间的关系：根号外的和根号内的分子相同，根号内的分子是分母的平方减去 1．
答案详解：（1）
4
√
4
15 =
√
4+4
15
．验证如下：
左边
¿
√
42×4
15 =
√
43−4+4
42−1=
√
4(42−1)+4
42−1=
√
4+4
15 =¿
右边，所以猜想正确；
（2）
n
√
n
n2−1=
√
n+n
n2−1
．证明如下：
左边
¿
√
n2× n
n2−1=
√
n3− n+n
n2−1=
√
n(n2−1)+n
n2−1=
√
n+n
n2−1=¿
右边．
六．估算无理数的大小
8．下列整数中，与 10
−
√
13
最接近的是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
思路引领：计算 3.5 的平方与 13 作比较，再得 10
−
√
13 ＜
6.5，可作判断．
答案详解：∵3
＜
√
13 ＜
4，
∴6＜10
−
√
13 ＜
7，
∵3.52＝12.25，且 12.25＜13，
∴
√
13 ＞
3.5，
∴10
−
√
13 ＜
6.5，
∴与 10
−
√
13
最接近的是 6．所以选：C．
七．实数的运算
9．计算：（
√
5−
1）0+|1
−
√
3
|+3tan60° 2﹣2
−
√
48
．
思路引领：按照实数的运算法则依次计算，注意（
√
5−
1）0＝1；|1
−
√
3
|
¿
√
3−
1．
答案详解：原式＝1
+
√
3−
1+3
√
3−
4 4﹣
√
3
＝﹣4．
八．分数指数幂
3
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