《决胜中考数学考前抢分冲刺（全国通用）》专题09 巧解三角函数(原卷版）

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专题 09 巧解三角函数 (原卷版）
必会模型一：双直角三角形。（高为些类模型的常见辅助线。）AD 为中介，把 AB，AC 相联系。
图1：
sinC=AD
AC
sinB=AD
AB
tanC=AD
BD
tanB=AD
CD
图2：
sin ∠1=AD
AC
sinB=AD
AB
tanC=AD
BD
tanB=AD
CD
必会模型二：三直角三角形.(RT +△斜边上的高)
(1) 多组相等比例线段
sinA=sin 1 =∠
CD
AC
=
BC
AB
=
BD
BC
sinB=sin 2=∠
CD
CB
=
=
AD
AC
cosA=cos 1 =∠
AD
AC
=
=
CD
BC
cosB=cos 2 =∠
BD
BC
=
BC
AB
=
CD
AC
tanA=tan 1 =∠
CD
AD
=
BC
AC
=
CD
AD
tanB=tan 2 =∠
AC
BC
=
AD
CD
=
CD
BD
(2) 可得射影定理.(快速求线段长.)
AC2＝AD•AB
BC2＝BD•AB
CD2＝AD•BD
三、必会核心技巧： 作垂线，构 Rt .△
中考真题精选
一．填空题
1．如图，海中有一小岛 A，它周围 10.5 海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行．在 B点测得小岛 A
2
1
D
B
C
A
D
A
B
C
图1
1
D
A
B
C
图2
1
在北偏东 60°方向上，航行 12 海里到达 D点，这时测得小岛 A在北偏东 30°方向上．如果渔船不改变航
线继续向东航行，那么渔船还需航行　 　海里就开始有触礁的危险．
2．如图，在每个小正方形的边长为 1的网格中，A，B，C均为格点．
（Ⅰ）sin∠ABC 的值为　 　；
（Ⅱ）点 D，F分别为 AB，AC 上的点，点 A关于 DF 的对称点为 E，且 DE∥AC，连接 DE，EF 分别交
BC 于点 H，G，当 S△ADF＝15S△EHG 时，请利用无刻度直尺，在如图所示的网格中，画出点 D，F，并简
要说明点 D，F的位置是如何找到的（不要求证明）　 　．
3．在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，点 D是AC 边上一点，连 BD，过 C点作 BD 的垂线与过 A点作 AC 的垂
线交于点 E．当 tan∠ABD
¿1
2
，cos∠E
¿
√
17
17
，则
CD
AD
的值是　 　．
4．如图，四边形 ABCD 中，BD 与AC 相交于 E点，AE＝CE，BC＝AC＝DC，则 tan∠ABD•tan∠ADB＝
．
2
5．关于 x的方程 2x25﹣xsinA+2＝0有两个相等的实数根，其中∠A是锐角△ABC 的一个内角；关于 y的方
程y210﹣y+m24﹣m+29＝0的两个根恰好是△ABC 的两边长，则△ABC 的周长是　 　．
6．如图，工程师为了测量小岛 A到公路 BD 的距离，先在点 B处测∠ABD＝37°，再沿 BD 方向前进 100 米
到达点 C，测得∠ACD＝45°，则小岛 A到公路 BD 的距离约为　 　米．（参考数据：sin37°＝
0.6．cos37＝0.8，tan37°＝0.75）
7．如图，点 A、B、C在正方形网格的格点上，则 tan∠BAC 的值为　 　．
8．如图，某高为 60 米的大楼 AB 旁边的山坡上有一个“5G”基站 DE，从大楼顶端 A测得基站顶端 E的俯
角为 45°，山坡坡长 CD＝10 米，坡度 i＝1：
√
3
，大楼底端 B到山坡底端 C的距离 BC＝30 米，则该基
站的高度 DE＝　 　米．
3
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