《决胜中考数学考前抢分冲刺（全国通用）》专题09 巧解三角函数(解析版）

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专题 09 巧解三角函数 (解析版）
必会模型一：双直角三角形。（高为些类模型的常见辅助线。）AD 为中介，把 AB，AC 相联系。
图1：
sinC=AD
AC
sinB=AD
AB
tanC=AD
BD
tanB=AD
CD
图2：
sin ∠1=AD
AC
sinB=AD
AB
tanC=AD
BD
tanB=AD
CD
必会模型二：三直角三角形.(RT +△斜边上的高)
(1) 多组相等比例线段
sinA=sin 1 =∠
CD
AC
=
BC
AB
=
BD
BC
sinB=sin 2=∠
CD
CB
=
=
AD
AC
cosA=cos 1 =∠
AD
AC
=
=
CD
BC
cosB=cos 2 =∠
BD
BC
=
BC
AB
=
CD
AC
tanA=tan 1 =∠
CD
AD
=
BC
AC
=
CD
AD
tanB=tan 2 =∠
AC
BC
=
AD
CD
=
CD
BD
(2) 可得射影定理.(快速求线段长.)
AC2＝AD•AB
BC2＝BD•AB
CD2＝AD•BD
三、必会核心技巧： 作垂线，构 Rt .△
中考真题精选
一．填空题
1．如图，海中有一小岛 A，它周围 10.5 海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行．在 B点测得小岛 A
2
1
D
B
C
A
D
A
B
C
图1
1
D
A
B
C
图2
1
在北偏东 60°方向上，航行 12 海里到达 D点，这时测得小岛 A在北偏东 30°方向上．如果渔船不改变航
线继续向东航行，那么渔船还需航行　 4.5 　 海里就开始有触礁的危险．
思路引领：过A作AC⊥BD 于点 C，求出∠CAD、∠CAB 的度数，求出∠BAD 和∠ABD，根据等角对等
边得出 AD＝BD＝12，根据含 30 度角的直角三角形性质求出 CD，根据勾股定理求出 AC 即可．
答案详解：只要求出 A到BD 的最短距离是否在以 A为圆心，以 10.5 海里的圆内或圆上即可，
如图，过 A作AC⊥BD 于点 C，则 AC 的长是 A到BD 的最短距离，
∵∠CAD＝30°，∠CAB＝60°，
∴∠BAD＝60° 30°﹣＝30°，∠ABD＝90° 60°﹣＝30°，
∴∠ABD＝∠BAD，
∴BD＝AD＝12 海里，
∵∠CAD＝30°，∠ACD＝90°，
∴CD
¿1
2
AD＝6海里，
由勾股定理得：AC
¿
√
122−62=¿
6
√
3
（海里），
如图，设渔船还需航行 x海里就开始有触礁的危险，即到达点 D′时有触礁的危险，
在直角△AD′C中，由勾股定理得：（6﹣x）2+（6
√
3
）2＝10.52．
解得 x＝4.5．
渔船还需航行 4.5 海里就开始有触礁的危险．所以答案是：4.5．
2．如图，在每个小正方形的边长为 1的网格中，A，B，C均为格点．
（Ⅰ）sin∠ABC 的值为　
3
5
　；
（Ⅱ）点 D，F分别为 AB，AC 上的点，点 A关于 DF 的对称点为 E，且 DE∥AC，连接 DE，EF 分别交
2
BC 于点 H，G，当 S△ADF＝15S△EHG 时，请利用无刻度直尺，在如图所示的网格中，画出点 D，F，并简
要说明点 D，F的位置是如何找到的（不要求证明）　 AD ＝ AF
¿15
7
，即可找到
D
点与
F
点　 ．
思路引领：（1）由勾股定理即可求出 AB 的长，再利用三角函数即可求解；
（2）由题意易证 AD＝DE＝AF＝EF，作 DO⊥AC 于点 O，设 AD＝DE＝AF＝EF＝x，应用三角函数可
求出，DH＝3
−3
5
x
，BH＝4
−4
5
x，即可求出 HE 和DO 的长，再由正切可求出 HG
¿32
15
x − 4
，由此即可
求出 S△ADF 和S△EHG，结合题意解出 x即可找到 D点和 F点．
答案详解：（Ⅰ）由图可知，AC＝3，BC＝4，
根据勾股定理得：AB
¿
√
A C2+B C 2=5
，
∴sin∠ABC
¿AC
AB =3
5
；所以答案为：
3
5
．
（Ⅱ）如图，根据对称可知，AD＝DE，AF＝EF，∠EDF＝∠ADF，
∵DE∥AC，
∴∠EDF＝∠AFD，
∴∠AFD＝∠ADF，
∴AD＝DE＝AF＝EF，
作DO⊥AC 于点 O，
设AD＝DE＝AF＝EF＝x，
∵sin∠B
¿DH
BD =AC
AB =3
5
，cos∠B
¿BH
BD =BC
AB =4
5
，BD＝AB﹣AD＝5﹣x，
∴DH＝3
−3
5
x
，BH＝4
−4
5
x，
∴HE＝DE﹣DH＝x﹣（3
−3
5
x
）
¿8
5
x − 3
，
3
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