《决胜中考数学考前抢分冲刺（全国通用）》专题08 相似经典(原卷版）

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专题 08 相似经典 (原卷版）
一．选择题
1．如图，等边△ABC 的边长为 3，点 D在边 AC 上，AD
¿1
2
，线段 PQ 在边 BA 上运动，PQ
¿1
2
，有下列结
论：
①CP 与QD 可能相等；
②△AQD 与△BCP 可能相似；
③四边形 PCDQ 面积的最大值为
31
√
3
16
；
④四边形 PCDQ 周长的最小值为 3
+
√
37
2
．
其中，正确结论的序号为（　　）
A．①④ B．②④ C．①③ D．②③
2．如图，正方形 ABCD 的边长为 4，点 E在边 AB 上，BE＝1，∠DAM＝45°，点 F在射线 AM 上，且 AF
¿
√
2
，过点 F作AD 的平行线交 BA 的延长线于点 H，CF 与AD 相交于点 G，连接 EC、EG、EF．下列
结论：①△ECF 的面积为
17
2
；②△AEG 的周长为 8；③EG2＝DG2+BE2；其中正确的是（　　）
1
A．①②③ B．①③ C．①② D．②③
3．如图，在矩形 ABCD 中，BC
¿
√
2
AB，E为BC 中点，连接 AE 交BD 于点 F，连 CF，下列结论：
①AE⊥BD；②S矩形 ABCD＝10S△CEF；③BC2＝2DO•DF；④
．正确的有（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题
4．如图，在 Rt△ABC 中，AB＝AC＝4，点 E，F分别是 AB，AC 的中点，点 P是扇形 AEF 的
^
EF
上任意一
点，连接 BP，CP，则
1
2
BP+CP 的最小值是　 　．
5．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，CD⊥AB，垂足为 D，E为BC 的中点，AE 与CD
交于点 F，则 DF 的长为　 　．
三．解答题（共 15 小题）
6．如图，▱ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 E，以 AB 为直径的⊙O经过点 E，与 AD 交于点 F，G是AD
延长线上一点，连接 BG，交 AC 于点 H，且∠DBG
¿1
2
∠BAD．
（1）求证：BG 是⊙O的切线；
2
（2）若 CH＝3，tan∠DBG
¿1
2
，求⊙O的直径．
7．如图，△ABC 内接于⊙O，AB 为⊙O的直径，AB＝10，AC＝6，连接 OC，弦 AD 分别交 OC，BC 于点
E，F，其中点 E是AD 的中点．
（1）求证：∠CAD＝∠CBA．
（2）求 OE 的长．
8．在等腰△ABC 中，AC＝BC，△ADE 是直角三角形，∠DAE＝90°，∠ADE
¿1
2
∠ACB，连接 BD，BE，
点F是BD 的中点，连接 CF．
（1）当∠CAB＝45°时．
①如图 1，当顶点 D在边 AC 上时，请直接写出∠EAB 与∠CBA 的数量关系是　 　．线段
BE 与线段 CF 的数量关系是　 　；
②如图 2，当顶点 D在边 AB 上时，（1）中线段 BE 与线段 CF 的数量关系是否仍然成立？若成立，请
给予证明，若不成立，请说明理由；
学生经过讨论，探究出以下解决问题的思路，仅供大家参考：
思路一：作等腰△ABC 底边上的高 CM，并取 BE 的中点 N，再利用三角形全等或相似有关知识来解决
问题；
思路二：取 DE 的中点 G，连接 AG，CG，并把△CAG 绕点 C逆时针旋转 90°，再利用旋转性质、三角
形全等或相似有关知识来解决问题．
（2）当∠CAB＝30°时，如图 3，当顶点 D在边 AC 上时，写出线段 BE 与线段 CF 的数量关系，并说明
3
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