《决胜中考数学考前抢分冲刺（全国通用）》专题07 圆的性质与证明(解析版）

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专题 07 圆的性质与证明 (解析版）
圆的问题，常用小技巧：
1． 遇到弦时（解决有关弦的问题时） 简记：圆中弦，垂径连，垂径定理很好办。
常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。
作用：①利用垂径定理；
②利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系；
③利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。
2． 遇到有直径时。 简记：圆中直径，可得直角。
常常添加（画）直径所对的圆周角。
作用：利用圆周角的性质，得到直角或直角三角形。
3． 遇到有切线时 简记：切点半径连，垂直必出现。
（1）常常添加过切点的半径（连结圆心和切点）
作用：利用切线的性质定理可得到直角或直角三角形。
（2）常常添加连结圆上一点和切点
作用：可构成弦切角，从而利用弦切角定理。
4． 遇到证明某一直线是圆的切线时。
（1）若直线和圆的公共点还未确定，则常过圆心作直线的垂线段，再证垂足到圆心的距离等于半径。
（2）若直线过圆上的某一点，则连结这点和圆心（即作半径），再证其与直线垂直。
5． 遇到两相交切线时（切线长）
常常连结切点和圆心、连结圆心和圆外的一点、连结两切点。
作用：据切线长及其它性质，可得到：①角、线段的等量关系；②垂直关系；③全等、相似三角形。
6． 遇到三角形的内切圆时. 简记：内切圆，角平分，三边垂线好判断。
连结内心到各三角形顶点，或过内心作三角形各边的垂线段。
作用：利用内心的性质，可得：
① 内心到三角形三个顶点的连线是三角形的角平分线；
② 内心到三角形三条边的距离相等。
7． 遇到三角形的外接圆时. 简记：外接圆，中垂线，三个顶点线段连。
如果三角形是直角三角形，那么它的外接圆的直径就是直角三角形的斜边.
如果三角形不是直角三角形
一．选择题
1．如图，点 A，B的坐标分别为 A（2，0），B（0，2），点 C为坐标平面内一点，BC＝1，点 M为线段
AC 的中点，连接 OM，则 OM 的最大值为（　　）
1
A．
√
2+¿
1 B．
√
2+1
2
C．2
√
2+¿
1 D．2
√
2−1
2
思路引领：根据同圆的半径相等可知：点 C在半径为 1的⊙B上，通过画图可知，C在BD 与圆 B的交
点时，OM 最小，在 DB 的延长线上时，OM 最大，根据三角形的中位线定理可得结论．
答案详解：如图，
∵点 C为坐标平面内一点，BC＝1，
∴C在⊙B上，且半径为 1，
取OD＝OA＝2，连接 CD，
∵AM＝CM，OD＝OA，
∴OM 是△ACD 的中位线，
∴OM
¿1
2
CD，
当OM 最大时，即 CD 最大，而 D，B，C三点共线时，当 C在DB 的延长线上时，OM 最大，
∵OB＝OD＝2，∠BOD＝90°，
∴BD＝2
√
2
，
∴CD＝2
√
2+¿
1，
∴OM
¿1
2
CD
，即 OM 的最大值为
√
2+1
2
；所以选：B．
2
2．如图，△ABC 是⊙O的内接三角形，AB＝BC，∠BAC＝30°，AD 是直径，AD＝8，则 AC 的长为（
　）
A．4 B．4
√
3
C．
8
3
√
3
D．2
√
3
思路引领：连接 CD，根据等腰三角形的性质得到∠ACB＝∠BAC＝30°，根据圆内接四边形的性质得到
∠D＝180°﹣∠B＝60°，求得∠CAD＝30°，根据直角三角形的性质即可得到结论．
答案详解：连接 CD，
∵AB＝BC，∠BAC＝30°，
∴∠ACB＝∠BAC＝30°，
∴∠B＝180° 30° 30°﹣ ﹣ ＝120°，
∴∠D＝180°﹣∠B＝60°，
∵AD 是直径，
∴∠ACD＝90°，
∵∠CAD＝30°，AD＝8，
∴CD
¿1
2
AD＝4，
∴AC
¿
√
A D2−C D2=
√
82−42=¿
4
√
3
，所以选：B．
3．如图，在矩形 ABCD 中，AB＝6，AD＝8，点 O在对角线 BD 上，以 OB 为半径作⊙O交BC 于点 E，连
接DE，若 DE 是⊙O的切线，此时⊙O的半径为（　　）
3
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