《决胜中考数学考前抢分冲刺（全国通用）》专题06 最值问题2之胡不归 阿氏圆（解析版）

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专题 06 最值问题 2之胡不归 阿氏圆(解析版）
一．胡不归
1．∠
AOB
＝30°，
OM
＝2，
D
为
OB
上动点，求
MD
+1
2
OD
的最小值．
思路引领：(胡不归经典)作∠
BON
＝∠
AOB
＝30°，过点
M
作
MC
⊥
ON
于点
C
，交
OB
于点
D
′，当
MC
⊥
ON
时，（此时点
D
′即为点
D
）
MD
+1
2
OD
＝
MD
+
CD
的值最小，最小值是
CM
的长，
答案详解：如图，
作∠
BON
＝∠
AOB
＝30°，过点
M
作
MC
⊥
ON
于点
C
，交
OB
于点
D
′，
∴
CD
′
¿1
2
OD
′
所以当
MC
⊥
ON
时，（此时点
D
′即为点
D
）
MD
+1
2
OD
＝
MD
+
CD
的值最小，最小值是
CM
的长，
∴在 Rt△
OCM
中，∠
OMC
＝30°，
OM
＝2
∴
OC
＝1，
∴
CM
¿
√
3
．
答：
MD
+1
2
OD
的最小值为
√
3
．
2．如图，矩形
ABCD
中
AB
＝3，
BC
¿
√
3
，
E
为线段
AB
上一动点，连接
CE
，则
AE
+
CE
的最小值为　 3 　 ．
思路引领：在射线
AB
的下方作∠
MAB
＝30°，过点
E
作
ET
⊥
AM
于
T
，
1
过点
C
作
CH
⊥
AM
于
H
．易证
ET
¿1
2
AE
，推出
1
2
AE
+
EC
＝
CE
+
ET
≥
CH
，求出
CH
即可解决问题．
答案详解：∵四边形
ABCD
是矩形，
∴∠
B
＝90°，
∴tan∠
CAB
¿CB
AB =
√
3
3
，
∴∠
CAB
＝30°，
∴
AC
＝2
BC
＝2
√
3
，
在射线
AB
的下方作∠
MAB
＝30°，过点
E
作
ET
⊥
AM
于
T
，过点
C
作
CH
⊥
AM
于
H
．
∵
ET
⊥
AM
，∠
EAT
＝30°，
∴
ET
¿1
2
AE
，
∵∠
CAH
＝60°，∠
CHA
＝90°，
AC
＝2
√
3
，
∴
CH
＝
AC
•sin6°＝2
√
3×
√
3
2=¿
3，
∵
1
2
AE
+
EC
＝
CE
+
ET
≥
CH
，
∴
1
2
AE
+
EC
≥3，
∴
1
2
AE
+
EC
的最小值为 3，
故答案为 3．
3．如图，在△
ABC
中，∠
A
＝90°，∠
B
＝60°，
AB
＝2，若
D
是
BC
边上的动点，则 2
AD
+
DC
的最小值（　
　）
A．2
√
3+¿
6 B．6 C．
√
3+¿
3 D．4
思路引领：过点
C
作射线
CE
，使∠
BCE
＝30°，再过动点
D
作
DF
⊥
CE
，垂足为点
F
，连接
AD
，在
Rt△
DFC
中，∠
DCF
＝30°，
DF
¿1
2
DC
，2
AD
+
DC
＝2（
AD
+1
2
DC
）＝2（
AD
+
DF
）当
A
，
D
，
F
在同一直线上，
2
即
AF
⊥
CE
时，
AD
+
DF
的值最小，最小值等于垂线段
AF
的长．
答案详解：过点
C
作射线
CE
，使∠
BCE
＝30°，再过动点
D
作
DF
⊥
CE
，垂足为点
F
，连接
AD
，如图所示：
在 Rt△
DFC
中，∠
DCF
＝30°，
∴
DF
¿1
2
DC
，
∵2
AD
+
DC
＝2（
AD
+1
2
DC
）
＝2（
AD
+
DF
），
∴当
A
，
D
，
F
在同一直线上，即
AF
⊥
CE
时，
AD
+
DF
的值最
小，最小值等于垂线段
AF
的长，
此时，∠
B
＝∠
ADB
＝60°，
∴△
ABD
是等边三角形，
∴
AD
＝
BD
＝
AB
＝2，
在 Rt△
ABC
中，
∠
A
＝90°，∠
B
＝60°，
AB
＝2，
∴
BC
＝4，
∴
DC
＝2，
∴
DF
¿1
2
DC
＝1，
∴
AF
＝
AD
+
DF
＝2+1＝3，
∴2（
AD
+
DF
）＝2
AF
＝6，
∴2
AD
+
DC
的最小值为 6，
故选：
B
．
4．已知抛物线
y
＝
ax
2+
bx
+
c
与
x
轴交于
A
（﹣1，0），
B
（5，0）两点，
C
为抛物线的顶点，抛物线的对称
轴交
x
轴于点
D
，连接
BC
，且 tan∠
CBD
¿4
3
，如图所示．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设
P
是抛物线的对称轴上的一个动点．
①过点
P
作
x
轴的平行线交线段
BC
于点
E
，过点
E
作
EF
⊥
PE
交抛物线于点
F
，连接
FB
、
FC
，求△
BCF
的
面积的最大值；
3
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