《九年级下册数学专题培优训练（苏科版）》专题10 第七章《锐角三角函数》中的二次函数问题培优训练（解析版）

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专题 10 2020 第七章《锐角三角函数》中的二次函数问题
培优训练
班级：___________姓名：___________得分：___________
一、解答题
1. 如图，抛物线
y=a x2+bx +c
与x轴交于点 A与点 B，与 y轴交于点
C(0, −3)
，且
OB=OC=3OA
．
(1)
求抛物线的解析式；
(2)
探究坐标轴上是否存在点 P，使得以点
P , A ,C
为顶点的三角形为直角三角形？
若存在，求出 P点坐标，若不存在，请说明理由；
【解析】本题主要考查了二次函数的综合，关键是熟练掌握二次函数的性质，相似三
角形的性质及判定方法．
(1)
先根据抛物线与 y轴的交点坐标可得 OC，利用
可得 A和B的坐标，
代入抛物线的解析式可得结论；
(2)
分三种情况进行讨论，利用相似三角形的性质及判定方法，锐角三角函数定义得出
线段的长度，从而可得点的坐标．
【答案】解：
(1)
抛物线
y=a x2+bx −3
与y轴交于点
C(0, −3)
，
∵OB =OC=3OA
，
∴A(−1,0)
，
B(3,0)
，代入
y=a x2+bx −3
，
1
得
{
a − b −3=0
9a+3b − 3=0
，
∴y=x2−2x − 3
．
(2)①
当
∠P1AC=90∘
时，可得
∠P1AO+∠OAC=90 °
，
∠OA P1+∠A P1O=90°
，
∴∠ OAC=∠A P1O
∵∠ AO P1=∠AOC
∴△P1AO
∽
△ACO
，
∴Rt △P1AO
中，
tan∠P1AO=tan∠ACO=1
3
，
∴P1(0,1
3).
②
同理：如图当
∠P2CA=90∘
时，
P2(9,0)
③
当
∠C P3A=90∘
时，
P3(0,0)
，
综上，坐标轴上存在三个点 P使得以点 PA，C为顶点的三角形为直角三角形，分别是
P1(0,1
3)
，
P2(9,0)
，
P3(0,0)
．
2. 已知，如图，二次函数
y=a x2+2ax − 3a(a≠ 0)
图象的顶点为 H，与 x轴交于
A、B两点
¿
在A点右侧
¿
，点 H，B关于直线
l:y=❑
√
3
3x+❑
√
3
对称．
2
(1)A
坐标为_________；B坐标为：_________；H坐标为_________；
(2)
求二次函数解析式；
(3)
在直线
x=3
上是否存在一点 P，使得
|
PA − PH
|
最大？若不存在，请说明理由：
若存在，请求出此时
ΔAOP
的面积；
(4)
过点 B作直线
BK /¿AH
交直线 l于K点，M，N分别为直线 AH 和直线 l上的
两个动点，连接 HN、NM、MK，求
HN +NM +MK
和的最小值．
【答案】解：
(1)(−3,0)

(1,0)

(−1,2
√
3)
(2)
把
H(−1,2
√
3)
代入
y=a x2+2ax − 3a
得，
2
√
3=a − 2a − 3a
，
解得
a=−
√
3
2
，
∴
二次函数解析式为
y=−
√
3
2x2−
√
3x+3
√
3
2
；
(3)
由三角形的三边关系得：
¿PA − PH ∨¿
则当 P、H、A三点共线时，
¿PA − PH∨¿
最大，最大值为 AH
此时，点 P为直线
x=3
与AH 所在直线的交点
设直线 AH 的解析式为
y=kx+b
将
A(−3,0)
和
H(−1,2
√
3)
代入得：
{
−3k+b=0
−k +b=2
√
3
3
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