《九年级下册数学专题培优训练（苏科版）》专题03 二次函数中的动点问题专练（三）（解析版）

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专题 03 二次函数中的动点问题专练（三）
班级：___________姓名：___________得分：___________
一、选择题
1. 如图，平面直角坐标系中，点 M是直线
y=2
与x轴之间的一个动点，
且点 M是抛物线
y=1
2x2+bx +c
的顶点，则抛物线
y=1
2x2+bx +c
与
直线
y=1
交点的个数是
()
A. 0个或 1个B. 0个或 2个C. 1个或 2个D. 0个、1个或 2
个
【答案】D
【分析】令
y=x2+bx +c
，
y=1
，要求方程
x2+bx+c=1
的解的个数，只需求抛物线
与直线
y=1
有没有交点即可．
本题考查了抛物线与 x轴的交点问题，解题的关键是理解二次函数
y=a x2+bx +c¿
b，c是常数，
a ≠ 0¿
与x轴的交点与一元二次方程
a x2+bx+c=0
根之间的关系．
【解答】解：由抛物线
y=x2+bx +c
的图象可知，该抛物线与 x轴没有交点，
即：
△<0
，
则：
b2−4c<0
，
又点 M是直线
y=2
与x轴之间的一个动点，点 M的坐标为：
(−b
2,4c − b2
4)
，
所以，
0<4c − b2
4<2
，即：
−8<b2−4c<0
，
令
y=x2+bx +c −1
，则要求方程
x2+bx+c=1
的解得个数，只需判定抛物线
y=x2+bx +c −1
与x轴有无交点及交点的个数即可．
又因为，
△=b2−4ac =b2−4(c −1)=b2−4c+4
，
所以，
−4<b2−4c+4<4
，
即：
①
当
−4<b2−4c+4<0
时，抛物线
y=x2+bx +c −1
与x轴没有交点；
②b2−4c+4=0
时，抛物线
y=x2+bx +c −1
与x轴有一个交点；
0③<b2−4c+4<4
时，抛物线
y=x2+bx +c −1
与x轴有两个交点．
1
2. 如图，二次函数
y=− x2+x+2
交x轴于点 A、
B¿
在B的
右侧
¿
，与 y轴交于点 C，D为第一象限抛物线上的动点，
则
△ACD
面积的最大值是
()
A.
3
4
B.
3
2
C.
1
2
D. 1
【答案】D
【分析】先计算当
x=0
时的函数值得到
C(0,2)
，解方程
− x2+x+2=0
得
A(2,0)
，易
得直线 AC 的解析式为
y=− x+2
，作
DE/¿y
轴交 AC 于E，如图，设
D(t ,− t2+t+2)
，
则
E(t , −t +2)
，利用三角形面积公式得到
△ACD
面积
¿1
2×2× DE=− t2+2t
，然后
根据二次函数的性质解决问题．
本题考查了抛物线与 x轴的交点：把求二次函数
y=a x2+bx +c¿
b，c是常数，
a ≠ 0¿
与x轴的交点坐标问题转化为解关于 x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
【解答】解：当
x=0
时，
y=− x2+x+2=2
，则
C(0,2)
，
当
y=0
时，
− x2+x+2=0
，解得
x1=−1
，
x2=2
，则
A(2,0)
，
易得直线 AC 的解析式为
y=− x+2
，
作
DE/¿y
轴交 AC 于E，如图，
设
D(t ,− t2+t+2)
，则
E(t , −t +2)
，
∴DE=−t2+t+2−(−t +2)=−t2+2t
，
∴△ACD
面积
¿1
2×2× DE=− t2+2t=−¿
，
当
t=1
时，
△ACD
面积有最大值为 1．
3. 如图，在
△ABC
中，
∠B=90 °
，
AB=4mm
，
BC=7mm
，动点 P从点 A开始
沿边 AB 向点 B以
1mm/s
的速度移动
¿
不与点 B重合
¿
，同时动点 Q从点 B开始沿
边BC 向点 C以相同的速度的速度移动
¿
不与点 C重合
¿.
设P，Q同时出发后经过
的时间为
t s
，
△PBQ
的面积为
y mm2
，则当点 P从点 A向点 B运动时，y关于 t
2
的函数图象是
¿
¿
A. B.
C. D.
【答案】B
【分析】
本题考查了函数关系式的求法以及最值的求法，解题的关键是根据题意列出函数关系
式，并根据二次函数的性质求出最值．
根据题意，由
S△PBQ=y=1
2× t ×(4−t)
，化简得函数关系式，为二次函数，且最大值
为2，故可结合选项图象得解．
【解答】
解：根据题意得：
S△PBQ=y=1
2× t ×(4−t)=−1
2t2+2t=−1
2¿
，
(0≤ t ≤ 4)
，
该函数为开口向下，对称轴为
t=2
的二次函数的一部分，
且当
t=2
时，y取最大值 2，
3
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