八年级数学暑假精品课程（沪教版）第1讲 实数概念（教师版）

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第 1 讲 实数概念
【学习目标】
1．理解平方根、算数平方根、立方根的概念，能用平方或立方运算求某些数的平方根或立方根；
2．掌握实数的相反数和绝对值的意义．
【基础知识】
一、实数概念应注意以下几点：
（一）任何一个有理数都可写成有限小数或者无限循环小数的形式，反之，任何有限小数或无限循环小数
都是有理数
（二）无理数是无限不循环小数，所以只能以四种形式出现
(1)开方开不尽的数，如 ， 等
(2)化简后含圆周率 的数。“ ”虽然是一个常数，但它是无限不循环小数，属无理数
(3)特定结构的数，如 0.1010010001……等
(4)没有规律但有省略号的数，如 1.21234879……等
二、平方根应注意以下几点：
：表示非负数 a的平方根；
：表示非负数 a的正平方根（算术平方根）；
：表示非负数 a的负平方根
总结：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
三、立方根应注意以下几点：
如果 ，那么 叫做 的立方根，记作：
【考点剖析】
考点一：实数的概念
例1．（崇明 2018 期中 1）下列实数中，无理数是（ ）
1
A. 3.14； B. ； C. ； D. .
【答案】B；
【解析】因为 3.14 是有限小数，为有理数； 是有理数；分数 是有理数；故只有 是无理数.
因此选 B.
例2．（杨浦 2019 期末 15）在 0、
（它的位数无限且相邻两个“3”之间“7”的个数依次加 1个），这十个数中，无理数的个数是（ ）
A. 1； B. 2； C.3； D. 4.
【答案】D；
【解析】有理数是：0、 共 6个；无理数是
（它的位数无限且相邻两个“3”之间“7”的个数依次加 1个）共 4个，故选 D.
例3．（黄浦 2018 期末 2）下列说法正确的是（ ）
A.数轴上的每一个点都有一个有理数与它对应； B.负数没有方根；
C.带根号的数一定是无理数； D.正实数包括正有理数和正无理数.
【答案】D；
【解析】因为数轴上的每个点都与一个实数一一对应，故 A错误；负数没有平方根，但有奇次方根，故 B
错误；带根号的数不一定是无理 数，如 ，故 C错误；正实数包括正有理数和正无理数，故 D正确，因
此选 D.
考点二：数的开方
例1．（浦东四署 2019 期末 7）实数 81 的平方根是 .
【答案】 ；
【解析】实数 81 的平方根是 .
例2．（崇明 2018 期中 9）如果 ，那么 x= .
【答案】- 4；
【解析】如果 ，那么 .
2
例3．（松江 2018 期中 17）下列运算中，正确的是（ ）
A. ； B. ； C. ； D. .
【答案】D.
【解析】因为 不是同类二次根式，故不能合并，故 A错误； ，故 B错误；
，故 C错误；因为 ，故 D正确；因此选 D.
例4．（宝山 2018 期末 23）计算： ；
【答案】－3;
【解析】解：原式=5-13+5=－3;
考点三：平方根、立方根的应用
例1．如果 为 的算术平方根， 为 的立方根，求
的平方根．
教学说明：本题主要考察平方根、算术平方根、立方根的意义，根据这些定义列出等式求出 的值．
参考答案：解：根据题意，有 ，
解得 则
例2．已知 是实数，且 与 互为相反数，则 =
教学说明：此题考察的是平方根的非负性、相反数的概念及开方的运算．
初中阶段的几个非负性：（1）绝对值； （2）平方； （3）平方根（偶次方根）；
解：由题意得： ，解得：
3
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