【初中数学】第8讲 幂的运算（二） 解析版

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第8讲 幂的运算（二）
【学习目标】
《整式的乘除》是整式加减的延续和发展，也是后续学习因式分解、分式运算的基础．整式的乘法运
算包含单项式乘法、单项式与多项式乘法和多项式乘法，它们最后都转化为单项式乘法．单项式的乘法又
以幂的运算为基础．“整式的乘法”的内容和逻辑线索是：同底数幂的乘法——幂的乘方——积的乘方—
—单项式乘单项式——单项式乘多项式——多项式乘多项式——乘法公式（特例）．
由此可见，同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方是整式乘法的逻辑起点，是该章的起始课．作为章
节起始课，承载着单元知识以及学习方法、路径的引领作用．
【基础知识】
1、幂的运算概念：求 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂，在 中， 叫 做 底 数 ，
叫做指数．
含义： 中， 为底数， 为指数，即表示 的个数， 表示有 个 连续相乘．
特别注意负数及分数的乘方，应把底数加上括号．
2、“奇负偶正”口诀的应用：
口诀“奇负偶正”在多处知识点中均提到过，它具体的应用有如下几点：
（1）多重负号的化简，这里奇偶指的是“－”号的个数，例如： ； ．
（2）有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号．
（3）有理数乘方，这里奇、偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则
幂为正．
3、特别地：当 为奇数时， ；而当 为偶数时， ．
负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数．
正数的任何次幂都是正数，1的任何次幂都是 1，任何不为 0的数的 0次幂都是“1”．
4、运算法则：
（1）同底数幂相乘．
同底数的幂相乘，底数不变，指数相加．
用式子表示为： （ 都是正整数）．
（2）幂的乘方．
幂的乘方的运算性质：幂的乘方，底数不变，指数相乘．
用式子表示为： （ 都是正整数）．
（3）积的乘方．
积的乘方的运算性质：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
用式子表示为： （ 是正整数）．
（4）同底数幂相除．
同底数幂相除，底数不变，指数相减．
用式子表示为： （ ， ， 都是正整数）．
1
（5）规定 ； （ ， 是正整数）．
【考点剖析】
考点一：选择题
例1．化简 ，结果是（ ）
A．B．C．D．
【难度】★
【答案】D
【解析】 ．
【总结】本题主要考查同底数幂的运算，运算中注意式子符号．
例2．下列各式计算过程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【难度】★
【答案】D
【解析】A的正确结果是 ，B的正确结果是 ，C的正确结果是 ．
【总结】本题主要考查幂的运算的基本法则，熟练掌握相关法则．
例3．下列计算：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥
；其中错误的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【难度】★
【答案】C
【解析】①②③本题主要考查幂的乘方运算，底数不变，指数相乘，①②错误；④⑤⑥主要考查积的乘方
运算，底数相乘，指数不变，④⑤错误．
【总结】本题主要考查幂的运算法则，计算时需要注意法则的准确运用．
例4．下列计算中，运算错误的式子有（ ）
（1） ；（2） ；（3） ；（4） ．
A．0个B．1个C．2个D．3个
【难度】★
【答案】C
【解析】本题主要考查幂的运算和合并同类项相关知识，一定注意运算中是乘号还是加号，分清楚是幂的
运算还是合并同类项计算，故（2）（3）错误．
【总结】本题主要考查幂的运算法则，计算时需要注意法则的准确运用．
例5．计算 所得的结果是（ ）
2
A．－2B．2C．D．
【难度】★★
【答案】D
【解析】原式=．
【总结】本题在计算时要注意“奇负偶正”的运用．
例6．计算 的结果是（ ）
A．B．C．D．
【难度】★★
【答案】B
【解析】 ．
【总结】本题在计算时要将底数全部化作相同，按照同底数幂的运算法则计算．
例7．当 是正整数时，下列等式成立的有（ ）
（1） （2） （3） （4）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【难度】★★
【答案】B
【解析】（1）（2）根据幂的乘方运算法则，正确；（3）正确，左侧式子确定为非负数；（4）不能确定
正负．
【总结】本题主要考查幂的乘方的运算及其逆用，注意法则的准确运用．
例8．计算： 的结果为（ ）
A．B．C．D．
【难度】★★
【答案】D
【解析】
【总结】本题主要考查同底数幂和幂的乘方的运算法则．
例9．如果 ，则 （ ）
A．B．C．D．
【难度】★★
【答案】B
【解析】 ，由已知 ，可知
【总结】本题主要考查同底数幂相除的运算，但是要注意 39.48 与0.3948 的关系．
考点二：填空题
3
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