【初中数学】第7讲 幂的运算（一） 解析版

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第7讲 幂的运算（一）
【学习目标】
《整式的乘除》是整式加减的延续和发展，也是后续学习因式分解、分式运算的基础．整式的乘法运
算包含单项式乘法、单项式与多项式乘法和多项式乘法，它们最后都转化为单项式乘法．单项式的乘法又
以幂的运算为基础．“整式的乘法”的内容和逻辑线索是：同底数幂的乘法——幂的乘方——积的乘方—
—单项式乘单项式——单项式乘多项式——多项式乘多项式——乘法公式（特例）．
由此可见，同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方是整式乘法的逻辑起点，是该章的起始课．作为章
节起始课，承载着单元知识以及学习方法、路径的引领作用．
【基础知识】
一：同底数幂的乘法
1、幂的运算概念：求 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂．在 中， 叫做底数，
叫做指数．
含义： 中， 为底数， 为指数，即表示 的个数， 表示有 个 连续相乘．
例如： 表示 ， 表示 ， 表示
， 表示 ， 表示 ．
特别注意负数及分数的乘方，应把底数加上括号．
2、“奇负偶正”口诀的应用：
口诀“奇负偶正”在多处知识点中均提到过，它具体的应用有如下几点：
（1）多重负号的化简，这里奇偶指的是“－”号的个数，例如： ； ．
（2）有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号．
（3）有理数乘方，这里奇、偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则
幂为正．
例如： ， ．
特别地：当 为奇数时， ；而当 为偶数时， ．
负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数．
正数的任何次幂都是正数，1的任何次幂都是 1，任何不为 0的数的 0次幂都是“1”．
3、同底数幂相乘
同底数的幂相乘，底数不变，指数相加．用式子表示为：
（ 都是正整数）．
二：幂的乘方
1、幂的乘方定义：幂的乘方是指几个相同的幂相乘．
2、幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘．即 （ 、 都是正整数）
三：积的乘方
1、积的乘方定义：积的乘方指的是乘积形式的乘方．
1
2、积的乘方法则：积的乘方，等于把积中的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘： （ 是
正整数）
3、积的乘方的逆用： ．
【考点剖析】
考点一：同底数幂的乘法
例1．下列各式正确吗？不正确的请加以改正．
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ；
（5） ； （6） ；
（7） ； （8） ．
【难度】★
【答案】（1）正确；（2）不正确，正确为： ；（3）不正确，正确为：
；（4）不正确，正确为： ；（5）不正确，不能计算；（6）不
正确，正确为： ；（7）不正确，正确为： ；
（8）不正确，正确为： ．
【解析】同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
【总结】本题主要考查同底数幂的乘法运算，同时一定要注意确保是在同底数幂乘法运算时才可以应用，
注意算式中的符号．
例2．计算下列各式，结果用幂的形式表示：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ．
【难度】★
【答案】（1） ；（2） ；（3） ；（4） ．
【解析】本题主要考查同底数幂相乘的计算，底数不变，指数相加．
例3．计算下列各式，结果用幂的形式表示．
（1） ；
（2） ；
（3） ．
【难度】★
2
【答案】（1） ；（2）0；（3） ．
【解析】（1）原式 ； （2）原式 ；
（3）原式 ．
【总结】本题主要考查同底数幂相乘的计算和合并同类项相关知识概念，同底数幂相乘，底数不变，指数
相加，然后进行合并同类项的运算．
例4．计算下列各式，结果用幂的形式表示．
（1） ； （2） ；
（3） ．
【难度】★★
【答案】（1） ；（2） ；（3） ．
【解析】（1）原式 ； （2）原式 ；
（3）原式 ．
【总结】本题主要考查同底数幂相乘的计算，底数不变，指数相加；同时涉及到多重负号的化简，看“
”号的个数决定运算结果的符号，奇负偶正．
例5．如果 ，且 ，试求 m
、
n的值．
【难度】★★
【答案】 ．
【解析】根据同底数幂的计算法则，可得 ，解方程组得 ．
【总结】考查同底数幂相乘的运算法则．
例6．求值：
（1）已知： ，求 的值．
（2）已知： ，求 的值．
【难度】★★
【答案】（1） ；（2） ．
【解析】（1）由同底数幂乘法法则，可得 ，解得 ， ；
（2） ，可得 ，解得 ．
【总结】本题主要考查同底数幂相乘的运算法则，注意一定要让底数相等的前提下保证幂相等．
考点二：幂的乘方
3
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