【初中数学】第5讲 整式的基本概念（解析版）

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第5讲 整式的基本概念
【学习目标】
整式的基本概念及合并同类项是在学生学习了有理数、用字母表示数和代数式等知识的基础上安排的．
该章属于《义务教育数学课程标准》中的“数与代数”部分，其主要内容包括整式、单项式、多项式；合
并同类项；等．这些内容既是对有理数的概括与抽象，又是后继学习整式加减运算的基础，还是学习物理、
化学等学科及其他科学技术不可缺少的工具．
【基础知识】
一、整式的基本概念
1、 单项式：由数字与字母的积或字母与字母的积所组成的代数式叫做单项式．也就是说单
项式中不存在数字与字母或字母与字母的加、减、除关系，特别的单项式的分母中不含未知数 ．单独
的一个字母或数也叫做单项式．
（1）单项式的次数：是指单项式中所有字母的指数和．例如：单项式 ，它的指数
为 ，是四次单项式．单独的一个数(零除外)，它们的次数规定为零，叫做零次单
项式
（2）单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项数的系数．
2、多项式：由几个单项式的和组成的代数式叫做多项式．例如： 是多项式．
（1）多项式的项：其中每个单项式都是该多项式的一个项．多项式中的各项包括它前面
的符号．多项式中不含字母的项叫做常数项．
（2）多项数的次数：多项式里，次数最高项的次数就是这个多项式的次数．
（3）多项式的降（升）幂排列：按照同一个字母的指数从大到小（或从小到大）的顺序排列．
3、整式：单项式和多项式统称整式．
二：合并同类项
1、同类项的概念：
所含的字母相同，且相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项．
2、合并同类项：
合并同类项的法则：在合并同类项时，把同类项的系数相加的结果作为合并后的系数，字母和字母的指数
不变．
【考点剖析】
考点一：整式的基本概念
例1．在代数式 ，0， 中，整式共有（
）个
A、5 B、6 C、7 D、8
【难度】★
【答案】B
【解析】 分母中含有字母，是分式的形式，不属于整式，单项式和多项式都 是整式，故本
1
题中的整式共 6个．
【总结】本题主要考查整式的概念．
例2．找出下列各代数式中的单项式，并写出各单项式的系数和次数．
， ， ， ， ， ， ， ．
【难度】★
【答案】以上代数式是单项式的有： ， ， ， ， ， ．
的系数为 ，次数为 3； 的系数为-1，次数为 1；
，系数为 ，次数为 7； ，系数为-3，次数为 6；
2，系数为 2，次数为 0； ，系数 ，次数为 1．
【解析】此题主要考查单项式的相关概念，属于基础题目．
例3．写出下列多项式的次数及最高次项的系数．
（1） ； （2） ．
【难度】★
【答案】（1）此多项式的次数是 3次，最高次项的系数为 ；
（2）此多项式的次数是 2次，最高次项的系数是 ．
【解析】这是一道基础题目，考查的是多项式的系数和次数的概念．
例4．解答题：
（1）把多项式 按 的降幂排列；
（2）把多项式 按 的升幂排列；
（3）求多项式 的各项系数之和．
【难度】★
【答案】（1） ； （2） ；
（3） ．
【解析】（1）（2）升降幂的概念的考查，
（3）多项式 的各项系数分别为 3， ， ，2，这四个数字之和为 ．
【总结】本题一方面考查多项式的排列，另一方面考查多项式中每一项的系数．
例5．多项式 是几次几项式？
【难度】★★
【答案】五次五项式
2
【解析】多项式中所包含的单项式的次数最高的项是 ，是五次单项式，故此多项式 的次数为五次
共五项，所以是五次五项式．
【总结】本题主要考查几次几项式的概念．
例6．多项式 是三次三项式，求代数式 的值．
【难度】★★
【答案】0或4．
【解析】多项式 是二次三项式，则分两种情况：
（1）当 时， ，所以 ；
（2）当 时， ，所以 ．
【总结】本题一方面考查了几次几项式的概念，另外由于没有说最高次项是哪一项，因此要分类讨论．
例7．多项式 是六次四项式，单项式 的次数与这个多项式次数相
同，求 的值．
【难度】★★
【答案】 ．
【解析】由题意知多项式是六次四项式，则可得： ；又单项式的次数与 多项式的次数
相同，所以可得 所以 ．
【总结】本题主要考查多项式的次数与单项式的次数，注意两个概念的不同之处．
例8．设自然数 满足 ，求多项式 的次数？
【难度】★★
【答案】2或者是 n．
【解析】（1）当 n≤2时，次数为 2；（2）当 n>2 时，次数为 n．
【总结】本题主要考查多项式的次数，注意多项式的次数与系数的指数无关．
例9．请各写出一个符合条件的整式：
（1）系数是 ，次数是 3的单项式；
（2）系数是 3，次数是 1的单项式；
（3）常数项为 的二次三项式．
【难度】★★
【答案】（1） ； （2） ； （3） ．
【解析】这是一道开放性的题目，主要考查的是整式、单项式和多项式的基础概念，答案不唯一．
3
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