《中考数学几何模型能力提升篇(全国通用)》第11讲阿氏圆最值模型（原卷版）

3.0 envi 2025-04-23 7 4 741.15KB 11 页 3知币

中考数学几何模型 11：阿氏圆最值模型

名师点睛拨开云雾开门见山

在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“kPA+PB”最值问题，其中 P点轨迹是直线，而当 P点轨迹

变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题．

【模型来源】

“阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”，如下图，已知 A、B两点，点 P满足 PA：PB=k（k≠1），则满足条

件的所有的点 P的轨迹构成的图形为圆．这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”.

【模型建立】

如图 1 所示，⊙O 的半径为 R，点 A、B 都在⊙O 外，P为⊙O上一动点，已知 R= OB，

连接 PA、PB，则当“PA+ PB”的值最小时，P 点的位置如何确定？

解决办法：如图 2，在线段 OB 上截取 OC 使 OC= R，则可说明△BPO 与△PCO 相似，则有 PB=PC。

故本题求“PA+ PB”的最小值可以转化为“PA+PC”的最小值，其中与 A与C为定点，P为动点，故当

A、P、C 三点共线时，“PA+PC”值最小。

【技巧总结】

计算的最小值时，利用两边成比例且夹角相等构造母子型相似三角形

问题：在圆上找一点 P使得的值最小，解决步骤具体如下：

1. 如图，将系数不为 1的线段两端点与圆心相连即 OP，OB

2. 计算出这两条线段的长度比

3. 在OB 上取一点 C，使得，即构造△POM BOP∽△ ，则，

4. 则，当 A、P、C三点共线时可得最小值

典题探究启迪思维探究重点

例题 1. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=4 ，BC=3 ，以点 C为圆心， 2为半径作圆 C，分别交

AC、BC 于D、E两点，点 P是圆 C上一个动点，则的最小值为__________．

变式练习>>>

1．如图 1，在 RT△ABC 中，∠ACB=90°，CB=4，CA=6，圆 C的半径为 2，点 P为圆上一动点，连接 AP,BP，

求① ，② ，③ ，④ 的最小值.

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