《人教版九年级数学上册教学案》24.4 弧长和扇形面积讲义 学生版

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24.4 弧长和扇形面积
一、教学目标
（1）掌握扇形的面积公式，会利用扇形的弧长公式进行有关的计算.
（2）了解圆锥的侧面展开图是一个扇形.
（3）了解圆锥侧面积、全面积的计算方法，并会运用公式解决问题.
二、教学重难点
（1）教学重点：弧长公式、圆锥及有关概念；
（2）教学难点：圆锥的侧面积和全面积；
知识点一：弧长公式
在半径是 R的圆中，因为 360°的圆心角所对的弧长就等于圆周长 C=2πr，所以 n°圆心角所对的弧长为
l=n°πr÷180°（l=n°x2πr/360°)
例：半径为 1cm，45°的圆心角所对的弧长为
l=nπr/180
=45×π×1/180
=45×3.14×1/180
约等于 0.785
【提醒】
(1) 在弧长公式中，n表示“1°”的圆心角的倍数，在公式计算时，“n”和“180”不应再写单位；
(2)在弧长公式中，已知 l，n，R中的任意两个量，都可以求出第三个量，即三个量中知二可求一；
(3)正确区分弧、弧的度数相等、弧长相等，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧也不一定是等
弧，要充分注意，只有在同圆或等圆中，才可能是等弧，才有这三者的统一.
例1.如图，AB 是⊙O的直径，点 D为⊙O上一点，且∠ABD=30°，BO=4，则 的长为（　　）
1
A．B．C．2π D．
例2.如图，⊙O的直径 AB=6，若∠BAC=50°，则劣弧 AC 的长为（　　）
A．2π B．C．D．
变式 1.一个扇形的圆心角是 120°．它的半径是 3cm．则扇形的弧长为　 　 cm．
变式 2.一个扇形的圆心角为 120°，它所对的弧长为 6πcm，则此扇形的半径为　　cm．
知识点二：扇形与扇形的面积公式
1.扇形的定义
一条圆弧和经过这条圆弧两端的两条半径所围成的图形叫扇形（半圆与直径的组合也是扇形）。显然，
它是由圆周的一部分与它所对应的圆心角围成。《几何原本》中这样定义扇形：由顶点在圆心的角的两边
和这两边所截一段圆弧围成的图形。
2.扇形的面积公式
2
①角度制计算
,其中 l 是弧长，n是扇形圆心角，π是圆周率，R是扇形半径。
②弧度制计算
，其中 l是弧长，|α|是弧 l所对的圆心角的弧度数的绝对值，R是扇形半径。
【提醒】
（1）对于扇形的面积公式与三角形的面积公式有些类似，可以把扇形看作一个曲边三角形，吧弧长 l
看做底边，R看做高，这样对比，便于记忆，也便于应用，实际上，把扇形的弧分得越来越小，作经过各
分点的半径，并顺次连接各分点，得到越来越多的小三角形，那么扇形的面积就是这些小三角形面积和的
极限.
（2）根据扇形面积公式和弧长公式，已知 S，l，n，R四个量中的任意两个，都可以求出另外两个量.
例1．一个扇形的圆心角为 135°，弧长为 3πcm，则此扇形的面积是　 　 cm2．
例2.已知扇形的弧长为 2πcm，圆心角为 120°，则扇形的面积为　 　 cm2．
变式 1.如图，从一块直径为 2m 的圆形铁皮上剪出一个圆心角为 90°的扇形，则此扇形的面积为（　　）
A．2B．C．πm2D．2πm2
变式 2．如图，在▱ABCD 中，∠B=60°，⊙C的半径为 3，则图中阴影部分的面积是（　　）
3
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