《鲁教版（五四制）九年级数学专题复习训练》专题10二次函数—10.6.2二次函数综合之线段之差最大

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几何最值问题——线段之差最大

④最大值模型

如图，A、B两点在直线 l同侧，在直线 l上求作点 P，使最大.

方法：连接 BA 并延长，与直线 l的交点为点 P.

如图，A、B两点在直线 l异侧，在直线 l上求作一点 P，使最大.

方法：作点 A关于直线 l的对称点 A'，连接 BA'，与直线 l的交点为点 P.

造桥选址模型

已知 l1∥l2，l1，l2之间的距离为 d，在 l1，l2在上分别找 M、N两点，使得

MN⊥l1，且 AM+MN+NB 最小.

方法 1：将点 A向下平移 d个单位长度得到 A'，连接 A'B 与直线 l2的交点为点

N，过点 N作l1的垂线，与直线 l1的交点为点 M.

A、D为定点，B、C为直线 l1，l2上的动点，BC⊥l1，使得 AB+BC+CD 最小.

方法 2：BC 为定值，只需求 AB＋CD 最小即可，平移 CD 至BE，则变成求 AB

＋BE 最小，转化为将军饮马中的两定一动问题.

类型四：线段之差最大

动点产生的线段和差最值问题

求线段和差问题通常作对称点，利用三角形两边之和大于第三边求出线段

之和的最小值，利用两边之差小于第三边求出差的最大值.

当且仅当三点共线时等号成立.

【经典例题 4】如图，抛物线 y=ax2+bx+c与x轴交于 A(−1，0，)、B(3，0)两点

与y轴交于点 C(0，3)，点 D为抛物线的顶点。

(1)求抛物线的解析式；

(2)设点 P的坐标为(a，0)，当|PD−PC|最大时，求 a的值；

【解析】(1)设抛物线解析式为 y=a(x+1)(x−3)，

把C(0，3)代入得 a1 (−3)=3⋅ ⋅ ，解得 a=−1，

所以抛物线解析式为 y=−(x+1)(x−3)，即 y=−x2+2x+3；

(2)y=−x2+2x+3=−(x−1)2+4，则 D(1，4)，

设直线 CD 的解析式为 y=mx+n，

把C(0，3)，D(1，4)代入得 n=3；m+n=4，解得 m=1；n=3，

所以直线 CD 的解析式为 y=x+3，

当y=0 时，x+3=0，解得 x=−3，则直线 CD 与x轴的交点坐标为(−3，0)，

因为|PD−PC| CD(⩽当且仅当点 P、C. D 共线时，取等号)，此时 P点为直线 CD

与x轴的交点，

所以 a=−3；

练习 4-1. 如图，抛物线 y=ax2-5ax+4（a＜0）经过△ABC 的三个顶点，已知

BC∥x轴，点 A在x轴上，点 C在y轴上，且 AC=BC．

(1)求抛物线的解析式．

(2)在抛物线的对称轴上是否存在点 M，使|MA-MB|最大？若存在，求出点 M的

坐标；若不存在，请说明理由．

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