《鲁教版（五四制）九年级数学专题复习训练》专题10二次函数—10.6.1二次函数综合之“将军饮马”应用

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本专题包括两线段之和最小（三角形周长最小）、三线段之和最小（四边形周长
最下）
几何最值问题——“将军饮马”
基础知识：1.线段公理
两点之间所有连
线中，线段最短。简单地说，两点之间线段最短。两点之间线段的长度叫做这两
点之间的距离。
①A和B两点之间，线段 AB 最短.
②如图，两点 A、B在直线 l异侧，在直线上求作一点 P，使 PA+PB 最小．
③AB=a，BC=b（a＞b），则当点 C在D点时，ACmin=AB-AC=a-b，当点 C在点
E时，ACmax=AB+AC=a+b.
圆外一点 A到圆 O的最大距离与最小距离，连接圆外一点与圆心，与圆的交点为
点D，那么线段 AD 的长为最小距离；延长 AB 交圆 O于点 E，那么线段 AE 的长
为最大距离。
2.垂线公理
直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，简称为垂线段最短。
直线外任意一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到这条直线的距离。如图，
线段 AB 外一点 C与线段上各点的连线中，垂线段 CD 最短.
3.三角形三边之间的关系
两边之和大于第三边，两边之差小于第三边
将军饮马问题
①两定一动模型（线段之和最小）
如图，两点 A、B在直线 l同侧，在直线 l上求作一点 P，使 PA+PB 最小.
方法：过点 B作直线 l的对称点 B'，连接 AB'与直线 l的交点为点 P.
②两动一定模型
如图，点 P是∠MON 内的一点，分别在 OM，ON 上作点 A、B，使△PAB 的周长
最小.
方法：过点 P作直线 OM 的对称点 P1，作直线 ON 的对称点 P2，连接 P1、P2与直
线OM 的交点为点 A，与直线 ON 的交点为点 B.
③两动两定模型
如图，点 P，Q为∠MON 内的两点，分别在 OM、ON 上作点 A、B，使四边形
PAQB 的周长最小.
方法：过点 P作直线 OM 的对称点 P'，过点 Q作直线 ON 的对 称点 Q'，连接
P'、Q'与直线 OM 的交点为点 A，与直线 ON 的交点为点 B
④最大值模型
如图，A、B两点在直线 l同侧，在直线 l上求作点 P，使 最大.
方法：连接 BA 并延长，与直线 l的交点为点 P.
如图，A、B两点在直线 l异侧，在直线 l上求作一点 P，使 最大.
方法：作点 A关于直线 l的对称点 A'，连接 BA'，与直线 l的交点为点 P.
造桥选址模型
已 知 l1∥l2，l1，l2之 间 的 距 离 为 d， 在 l1，l2在 上 分 别 找 M、N两 点 ， 使 得
MN⊥l1，且 AM+MN+NB 最小.
方法 1：将点 A向下平移 d个单位长度得到 A'，连接 A'B 与直线 l2的交点为点 N，
过点 N作l1的垂线，与直线 l1的交点为点 M.
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