《鲁教版（五四制）九年级数学专题复习训练》专题9圆—9.9切线证明

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类型一：切线的证明
考点一：通过证明三角形全等得出垂直
如图， Rt ABC△中， ∠A=90°，以 AB 为直径的⊙O交BC 于点 D，点 E在⊙O
上，CE=CA，AB，CE 的延长线交于点 F.连接 OE、OC， 通过“ SSS”证明
△AOC EOC≌△ ，从而推出∠CEO=90°，进而证明 CF 为 ⊙O的切线
【经典例题 1】如图，点 P是⊙O外一点，PA 切⊙O于点 A，AB 是⊙O的直径，
连接 OP，过点 B作BC∥OP 交⊙O于点 C，连接 AC 交OP 于点 D．
（1）求证：PC 是⊙O的切线；
（2）若 PD＝ ，AC＝8，求图中阴影部分的面积；
（3）在（2）的条件下，若点 E是 的中点，连接 CE，求 CE 的长．
【解析】证明： ⑴如图，连接OC，
∵PA 切⊙O于A．
∴∠PAO=90º．
∵OP BC∥，
∴∠AOP= OBC∠，∠COP= OCB∠．
∵OC=OB，
∴∠OBC= OCB∠，
∴∠AOP= COP∠．
又∵OA=OC，OP=OP，
∴△PAO PCO (SAS)≌△ ．
1
∴∠PAO= PCO=90 º∠，
又∵OC 是⊙O的半径，
∴PC 是⊙O的切线．
⑵解法一：
由（1）得 PA，PC 都为圆的切线，
∴PA=PC，OP 平分∠APC，∠ADO= PAO=90 º∠，
∴∠PAD+ DAO= DAO+ AOD∠ ∠ ∠ ，
∴∠PAD = AOD∠，
∴△ADO PDA∽△ ．
∴AD/PD=DO/AD，
∴AD2=PD*DO，
∵AC=8， PD= ，
∴AD= AC=4，OD=3，AO=5，
由题意知 OD 为△ABC 的中位线，
∴BC=2OD=6，AB=10．
∴S阴=S 半⊙O－S ACB=△．
答：阴影部分的面积为 ．
解法二：
∵AB 是⊙O的直径，OP BC∥，
∴∠PDC= ACB=90º∠．
∵∠PCO=90 º，
∴∠PCD+ ACO= ACO+ OCB=90 º∠∠∠ ，
2
即∠PCD= OCB∠．
又∵∠OBC = OCB∠，
∴∠PCD= OBC∠，
∴△PDC ACB∽△ ， ∴PD/AC=DC/CB=PC/AB．
又∵AC=8， PD= ，
∴AD=DC=4，PC= ．
∴，
∴CB=6，AB=10，
∴S阴=S 半⊙O-S ACB=△．
答：阴影部分的面积为 ．
（3）如图，连接 AE ，BE ，过点 B作BM CE⊥于 点
M．∴∠CMB= EMB= AEB=90º∠ ∠ ，
又∵点E是AB 的中点，
∴∠ECB= CBM= ABE=45º∠ ∠ ，CM=MB = ，BE=ABcos45º= ，
∴EM= ，
∴CE=CM+EM= ．
答：CE 的长为 cm．
练习 1-1 如图，以
Rt ABC
的直角边
AC
为直径作⊙O交斜边
AB
于点
E
，连接
EO
并延长交
BC
的延长线于点
D
，作
交
BC
于点
F
，连接
.EF EC、
(1)求证:OF CE⊥；
(2)求证:EF 是⊙O的切线;
(3)若⊙O的半径为
3
，∠EAC=60°，求 tan ADE∠的值.
3
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