《备战中考数学临考题号押题（全国通用）》专题20 综合探究（解答题）（解析版）

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专题 20 综合探究

【2020 哈尔滨】已知：在平面直角坐标系中，点 O为坐标原点，直线 AB 与x轴的正半轴

交于点 A，与 y轴的负半轴交于点 B，OA＝OB，过点 A作x轴的垂线与过点 O的直线相

交于点 C，直线 OC 的解析式为 y＝x，过点 C作CM⊥y轴，垂足为 M，OM＝9．

（1）如图 1，求直线 AB 的解析式；

（2）如图 2，点 N在线段 MC 上，连接 ON，点 P在线段 ON 上，过点 P作PD⊥x轴，

垂足为 D，交 OC 于点 E，若 NC＝OM，求的值；

（3）如图 3，在（2）的条件下，点 F为线段 AB 上一点，连接 OF，过点 F作OF 的垂

线交线段 AC 于点 Q，连接 BQ，过点 F作x轴的平行线交 BQ 于点 G，连接 PF 交x轴于

点H，连接 EH，若∠DHE＝∠DPH，GQ﹣FG＝AF，求点 P的坐标．

【分析】（1）求出 A，B两点坐标，利用待定系数法解决问题即可．

（2）由题意直线 ON 的解析式为 y＝3x，设点 E的横坐标为 4a，则 D（4a，0），求出

PE，OD（用 a表示）即可解决问题．

（3）如图 3中，设直线 FG 交CA 的延长线于 R，交 y轴于 S，过点 F作FT⊥OA 于T．

证明△OFS≌△FQR（AAS），推出 SF＝QR，再证明△BSG≌△QRG（AAS），推出 SG

＝GR＝6，设 FR＝m，则 AR＝m，AF＝m，QR＝SF＝12﹣m，GQ﹣FG＝AF，根

据GQ2＝GR2+QR2，可得（m+6）2＝62+（12﹣m）2，解得 m＝4，由题意 tan∠DHE＝

tan∠DPH，可得＝，由（2）可知 DE＝3a，PD＝12a，推出＝，可得

DH＝6a，推出 tan∠PHD＝＝＝2，由∠PHD＝∠FHT，可得 tan∠FHT＝＝

2，推出 HT＝2，再根据 OT＝OD+DH+HT，构建方程求出 a即可解决问题．

【解答】解：（1）∵CM⊥y轴，OM＝9，

∴y＝9时，9＝x，解得 x＝12，

∴C（12，9），

∵AC⊥x轴，

∴A（12，0），

∵OA＝OB，

∴B（0，﹣12），

设直线 AB 的解析式为 y＝kx+b，则有，

解得，

∴直线 AB 的解析式为 y＝x﹣12．

（2）如图 2中，

∵∠CMO＝∠MOA＝∠OAC＝90°，

∴四边形 OACM 是矩形，

∴AO＝CM＝12，

∵NC＝OM＝9，

∴MN＝CM﹣NC＝12﹣9＝3，

∴N（3，9），

∴直线 ON 的解析式为 y＝3x，设点 E的横坐标为 4a，则 D（4a，0），

∴OD＝4a，

把x＝4a，代入 y＝x中，得到 y＝3a，

∴E（4a，3a），

∴DE＝3a，

把x＝4a代入，y＝3x中，得到 y＝12a，

∴P（4a，12a），

∴PD＝12a，

∴PE＝PD﹣DE＝12a﹣3a＝9a，

∴ ＝．

（3）如图 3中，设直线 FG 交CA 的延长线于 R，交 y轴于 S，过点 F作FT⊥OA 于T．

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