2.2.1 圆的对称性-圆的对称性与垂径定理-2021-2022学年九年级数学上册同步精品课时备课系列（苏科版）（解析版）

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2.2.1 圆的对称性-圆的对称性与垂径定理
【基础知识】
一、圆的对称性
圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心；
圆也是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴。
二、垂径定理
1.垂径定理
　　垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.
如图，几何语言为：
CD 是直径
要点：
2.推论
　　定理 1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.
　　定理 2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦.　　　　　　　　　　　　　　　　　　
要点：
（1）分一条弧成相等的两条弧的点，叫做这条弧的中点.
（2）这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.
三、垂径定理的拓展
根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：
（1）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
（2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.
要点：
在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在
这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分
的弦不能是直径）
【典例剖析】
【典例 1】．圆是（vv ）图形.
A．中心对称
B．轴对称
C．中心对称和轴对称
CD AB⊥
AE=BE
D．以上都不对
【答案】C
【解析】圆既是中心对称图形又是轴对称图形，中心对称图形是图形关于某点对称，轴对称是图形关于某
条直线对称.
故选 C.
【典例 2】．如图，在半径为 5的⊙O中，如果弦 AB 的长为 8，那么它的弦心距 OC 等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】B
【解析】
解：如图，连接 OA，在 Rt OAC△中，OA=5，AC=4，
在Rt OAC△中，OA=5，AC=4，则 ，
故选：B
【典例 3】．在研究圆的有关性质时，我们曾做过这样的一个操作“将一张圆形纸片沿着它的任意一条直
径翻折，可以看到直径两侧的两个半圆互相重合”．由此说明（ ）
A．圆的直径互相平分
B．垂直弦的直径平分弦及弦所对的弧
C．圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心
D．圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴
【答案】D
【解析】
试题分析：根据将一张圆形纸片沿着它的任意一条直径翻折，可以看到直径两侧的两个半圆互相重合，显
然说明了圆的轴对称性．
解：将一张圆形纸片沿着它的任意一条直径翻折，可以看到直径两侧的两个半圆互相重合，由此说明圆是
轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴．
故选 D
点评：考查了轴对称图形的概念，圆的对称轴为直径所在的直线或过圆心的直线．
【典例 4】．如图，CD 为⊙O的直径，弦 AB CD⊥，垂足为 M，若 AB=12，OM：MD=5：8，则⊙O的周
长为（　　）
A．26π B．13π C．D．
【答案】B
【解析】
试题分析：连接 OA，根据垂径定理得到 AM= AB=6，设 OM=5x，DM=8x，得到 OA=OD=13x，根据勾
股定理得到 OA= ，则可求周长．
解：连接 OA，
∵CD 为⊙O的直径，AB CD⊥，
∴AM= AB=6，
∵OM：MD=5：8，
∴设 OM=5x，DM=8x，
∴OA=OD=13x，
∴AM= =12x=6，
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