专题2.9二次函数与一元二次方程-2020-2021学年九年级数学下册尖子生同步培优题典（解析版）【北师大版】

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2020-2021 学年九年级数学下册尖子生同步培优题典【北师大版】
专题 2.9 二次函数与一元二次方程
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分 100 分，试题共 24 题，其中选择 10 道、填空 8 道、解答 6 道．答卷前，考生务必用 0.5 毫
米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3分，共 30 分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1．（2019•碑林区校级模拟）下列关于二次函数 y＝ax2﹣（a+1）x+1（a＞0）的图象经判断正确的是（
）
A．对称轴位于 y轴右侧
B．与 x轴的交点有两个
C．当 x＞0时，y随x的增大而增大
D．与坐标轴的交点有三个
【分析】根据二次函数的对称轴、二次函数的性质、二次函数图象与坐标轴的交点个数的关系等，分别
对各个选项进行判断即可求解．
【解析】A．∵a＞0，
∴对称轴为 x
¿−a+1
2a＜
0，
∴对称轴位于 y轴左边，
故A错误，不符合题意；
B．∵△＝（a+1）24﹣a＝a2+2a+1 4﹣a＝（a1﹣）2，
∴当 a＝1时，△＝0，
∴当 a＝1时，抛物线与 x轴只一个交点，
故B错误，不符合题意；
C．由 A知，对称轴位于 y轴左边，抛物线开口向上，
则函数对称轴右侧 y随x的增大而增大，
故当 x＞0时，y随x的增大而增大，正确，符合题意；
D．由 B知，当 a＝1时，抛物线与 x轴只一个交点，此时抛物线与坐标轴就没有三个交点，
故D错误，不符合题意；
故选：C．
2．（2019 秋•天等县期中）二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，关于该二次函数，下列说
法错误的是（　　）
A．函数有最小值
B．对称轴是直线 x
¿1
2
C．当 x＝﹣1或x＝2时，y＝0
D．当 x＞0时，y随x的增大而增大
【分析】根据题目中的函数图象可以判断出各个选项中的说法是否正确，本题得以解决．
【解析】由函数图象可得，
函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）有最小值，故选项 A正确；
对称轴是直线 x
¿−1+2
2=1
2
，故选项 B正确；
当x＝﹣1或x＝2时，y＝0，故选项 C正确；
当0＜x
＜1
2
时，y随x的增大而减小，故选项 D错误；
故选：D．
3．（2020 春•越秀区校级月考）抛物线 y＝x2+bx+3 的对称轴为直线 x＝2．若关于 x的一元二次方程
x2+bx+3﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有实数根，则 t的取值范围是（　　）
A．﹣1≤t＜3 B．3＜t＜8 C．﹣1≤t＜8 D．﹣1＜t＜4
【分析】根据二次函数的对称轴求得 b值，从而得出函数的解析式，将一元二次方程 x2+bx+3﹣t＝0（t
为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有实数根可以看做 y＝x24﹣x+3 与函数 y＝t有交点，再由﹣1＜x＜4时的
临界函数值及对称轴处的函数值得出 t的取值范围即可．
【解析】∵抛物线 y＝x2+bx+3 的对称轴为直线 x＝2．
∴
−b
2=¿
2，解得：b＝﹣4，
∴y＝x24﹣x+3，
∴一元二次方程 x2+bx+3﹣t＝0有实数根可以看做 y＝x24﹣x+3 与函数 y＝t有交点，
∵方程 x24﹣x+3﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内只有一个实数根，
当x＝﹣1时，y＝8；
当x＝4时，y＝3；
当x＝2时，y＝﹣1；
∴t的取值范围是﹣1≤t＜8．
故选：C．
4．如图，抛物线 y＝ax2+bx+c交x轴于（﹣1，0），（3，0）两点：则下列判断中正确的是（　　）
①图象的对称轴是过点（1，0）且平行于 y轴的直线
②当x＞1时，y随x的增大而减小
③一元二次方程 ax2+bx+c＝0的两个根是﹣1和3
④当﹣1＜x＜3时，y＜0
A．①② B．①②④ C．①②③ D．④
【分析】根据二次函数的图象与 x轴的交点，可求出抛物线的对称轴，再根据二次函数的性质对各选项
进行逐一判断即可．
【解析】二次函数的图象与 x轴的交点为（﹣1，0），（3，0），
抛物线的对称轴直线为：x
1，故①正确；
∵抛物线开口向下，对称轴为 x＝1，
∴当 x＞1时，y随x的增大而减小，故②正确；
∵二次函数的图象与 x轴的交点为（﹣1，0），（3，0），
∴一元二次方程的两个根是﹣1，3，故③正确；
∵当﹣1＜x＜3时，抛物线在 x轴的上方，
∴当﹣1＜x＜3时，y＞0，故④错误．
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