专题1.1 三角形证明【知识梳理真题演练】-2020-2021学年八年级数学下学期期末复习宝典（北师大版）（解析版）

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专题 1.1 三角形证明
知识归纳
知识点一:全等三角形的判定定理及性质定理
1. 全等三角形的判定定理:SSS、SAS、ASA、AAS.
2. 全等三角形的性质定理:全等三角形的对应边相等,对应角相等.
知识点二:等腰三角形的性质定理
1. 定理:等腰三角形的两底角相等,简述为“等边对等角”.
注意:“等边对等角”成立的前提条件是在同一个三角形中.
2. 推论:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合(简述为“三线合一”).
知识点三:等边三角形的性质定理
1. 等边三角形的三边都相等;
2. 等边三角形的三个内角都相等,并且每一个角都等于 60°;
3. 等边三角形是轴对称图形，对称轴是三条高所在的直线;
4. 任意角平分线、角对边上的中线、对边上的高互相重合，简称“三线合一”.
5. 在直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半.
1．（2020•福建）如图，AD 是等腰三角形 ABC 的顶角平分线，BD＝5，则 CD 等于（　　）
A．10 B．5 C．4 D．3
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质即可求解．
【解析】∵AD 是等腰三角形 ABC 的顶角平分线，BD＝5，
∴CD＝5．
故选：B．
2．（2020•自贡）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，以点 B为圆心，BC 长为半径画弧，交
AB 于点 D，连接 CD，则∠ACD 的度数是（　　）
A．50° B．40° C．30° D．20°
【分析】根据三角形的内角和和等腰三角形的性质即可得到结论．
【解析】∵在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，
∴∠B＝40°，
∵BC＝BD，
∴∠BCD＝∠BDC
¿1
2
（180° 40°﹣ ）＝70°，
∴∠ACD＝90° 70°﹣ ＝20°，
故选：D．
3．（2020•射阳县期末）等腰三角形的一个角是 70°，则它的底角是（　　）
A．70°或55° B．70° C．55° D．40°
【分析】题中未指明已知的角是顶角还是底角，故应该分情况进行分析，从而求解．
【解析】①当这个角是顶角时，底角＝（180° 70°﹣）÷2＝55°；
②当这个角是底角时，另一个底角为 70°，顶角为 40°．
故选：A．
4．（2020•齐齐哈尔）如图，已知在△ABD 和△ABC 中，∠DAB＝∠CAB，点 A、B、E在同一条直线上，
若使△ABD≌△ABC，则还需添加的一个条件是　
　 ．（只填一个即可）
【分析】利用全等三角形的判定方法添加条件．
【解析】∵∠DAB＝∠CAB，AB＝AB，
∴当添加 AD＝AC 时，可根据“SAS”判断△ABD≌△ABC；
当添加∠D＝∠C时，可根据“AAS”判断△ABD≌△ABC；
当添加∠ABD＝∠ABC 时，可根据“ASA”判断△ABD≌△ABC．
故答案为 AD＝AC（∠D＝∠C或∠ABD＝∠ABC 等）．
5．（2020•齐齐哈尔）等腰三角形的两条边长分别为 3和4，则这个等腰三角形的周长是　 　 ．
【分析】分 3是腰长与底边长两种情况讨论求解即可．
【解析】① 3是腰长时，三角形的三边分别为 3、3、4，
∵此时能组成三角形，
∴周长＝3+3+4＝10；
②3是底边长时，三角形的三边分别为 3、4、4，
此时能组成三角形，
所以周长＝3+4+4＝11．
综上所述，这个等腰三角形的周长是 10 或11．
故答案为：10 或11．
6．(2020 珠海紫荆中学一模)如图, ABC△中, ACB=90°,BE∠平分∠ABC,ED AB⊥于点 D.若∠A=30°,AE=
6 cm,则BC=　　　 ¤ ¤ ¤ ¤ .
【分析】根据角平分线的性质，含 30°角的直角三角形的性质.掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等
是解题的关键.
【解析】在 Rt ADE△中, A=30°,∵∠
∴DE= AE= ×6=3(cm), ABC=60°.∠
∵BE 平分∠ABC,ED AB, ACB=90°,⊥ ∠
∴CE=DE=3 cm, EBC=30°,∠
∴在 Rt CBE△中,BC= CE=3 cm.
7．（2020•丹徒区期末）如图，在△ABC 中，AB＝AC，DE 垂直平分 AC，CE⊥AB，AF⊥BC．
（1）求证：CF＝EF；
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