专题07 正方形中的线段数量关系解决方法-【专题突破】2021-2022学年八年级数学下学期重难点及章节分类精品讲义(人教版) (原卷版)

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专题训练（七）正方形中的线段数量关系解决方法
正方形的基本性质：
具有平行四边形、矩形、菱形的一般性质。
四条边都相等，四个角都是直角，对角线相等且互相垂直平分。
正方形的判定方法：既是矩形，也是菱形。
题型一：证明“a=b”型
示例：如图，正方形 ABCD 中，点 E，F分别在 AD，CD 上，且 AF⊥BE 于G，连接
BE，AF．求证：BE＝AF．
【答案】∵AF⊥BE，
∴ ．
∵四边形 ABCD 为正方形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
即在 和 中， ，
∴ ，
∴ ．
1．如图，正方形 ABCD 中，点 F是CD 边上一点，DF＝2．连接 AF 并延长，交 BC 边延长
线于点 E，∠EFC＝3∠E，连接 AC．求证：AC＝EC．
2．如图，四边形 ABCD 是正方形，点 E在BC 延长线上，DF⊥AE 于点 F，点 G在AE 上，
且∠ABG＝∠E．求证：AG＝DF．
3．如图，点 E是正方形 ABCD 外一点，点 F是线段 AE 上一点，且△EBF 是等腰直角三角
形，其中∠EBF＝90°，连接 CE、CF．求证：AF＝CE．
4．如图，正方形 中，对角线 交于点 O， 平分 交 于 F．求证：
．
题型二：证明“a=
1
2
b”型
示例：如图：正方形 ABCD 中，点 E、F分别在边 BC、CD 上，BE＝CF，连接 AE，BF
交于点 O，点 M为AB 中点，连接 OM，求证： ．
【答案】∵四边形 ABCD 是正方形，
∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°，
又BE＝CF，
∴△ABE≌△BCF（SAS）．
∴∠BAE＝∠CBF．
∵∠ABO+∠CBF＝90°，
∴∠ABO+∠BAO＝90°，即∠AOB＝90°．
在Rt△ABO 中，M点是斜边 AB 中点，
∴ ．
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