专题07 平面向量（知识点串讲）解析版-2020-2021学年高一上学期数学期末考点大串讲（人教A版）（串讲篇）

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专题 07 平面向量（知识点串讲）
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重难点突破
知识点一 平面向量的概念
名称 定义 备注
向量 既有大小又有方向的量；向量的大
小叫做向量的长度(或称模)
平面向量是自由向量
零向量 长度为 0的向量 记作 0，其方向是任意的
单位向量 长度等于 1个单位的向量 非零向量 a的单位向量为±
平行向量
方向相同或相反的非零向量(又叫
做共线向量)
0与任一向量平行或共线
相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不相等，不能比较
大小
相反向量 长度相等且方向相反的向量 0的相反向量为 0
例1、（河北衡水二中 2019 届高三调研）给出下列四个命题：
①若|a|＝|b|，则 a＝b；
②若 A，B，C，D是不共线的四点，则“AB＝DC”是“四边形 ABCD 为平行四边形”的充要条件；
③若 a＝b，b＝c，则 a＝c；
④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b.
其中正确命题的序号是(　　)
A.②③ B.①② C.③④ D.②④
【答案】A
【解析】①不正确.两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同.
②正确.∵AB＝DC，∴|AB|＝|DC|且AB∥DC，又 A，B，C，D是不共线的四点，∴四边形 ABCD 为平行四边
形；反之，若四边形 ABCD 为平行四边形，则|AB|＝|DC|，
AB∥DC且AB，DC方向相同，因此AB＝DC.
③正确.∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同，又 b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，∴a，c的长度
相等且方向相同，故 a＝c.
④不正确.当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到 a＝b，故|a|＝|b|且a∥b不是 a＝b的充要
条件，而是必要不充分条件.综上所述，正确命题的序号是②③.
【变式训练 1-1】、下列叙述错误的是________(填序号)．
①已知向量 a∥b，且|a|>|b|>0，则向量 a＋b的方向与向量 a的方向相同；
②|a|＋|b|＝|a＋b|⇔a与b方向相同；
③向量 b与向量 a共线的充要条件是有且只有一个实数 λ，使得 b＝λa；
④AB＋BA＝0；
⑤若 λa＝λb，则 a＝b.
【答案】②③④⑤
【解析】对于①，当 a和b方向相同，则它们的和的方向应该与 a(或b)的方向相同；当 a和b方向相反，
而a的模大于 b的模，则它们的和的方向与 a的方向相同．
对于②，当 a，b之一为零向量时结论不成立．
对于③，当 a＝0且b＝0时，λ有无数个值；当 a＝0但b≠0 时，λ不存在．
对于④，由于两个向量之和仍是一个向量，所以AB＋BA＝0.
对于⑤，当 λ＝0时，无论 a与b的大小与方向如何，都有 λa＝λb，此时不一定有 a＝b.
故②③④⑤均错误．
【变式训练 1-2】、设 是已知的平面向量且 ，关于向量 的分解，有如下四个命题：
①给定向量 ，总存在向量 ，使 ；
②给定向量 和 ，总存在实数 和 ，使 ；
③给定单位向量 和正数 ，总存在单位向量 和实数 ，使 ；
④给定正数 和 ，总存在单位向量 和单位向量 ，使 ；
上述命题中的向量 ， 和 在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】利用向量加法的三角形法则，易 的①是对的；利用平面向量的基本定理，易的②是对的；以 的
终点作长度为 的圆，这个圆必须和向量 有交点，这个不一定能满足，③是错的；利用向量加法的三
角形法则，结合三角形两边的和大于第三边，即必须 ，所以④是假命题．综上，本
题选 B．
知识点二 三角形的法则与平行四边形的法则
向量运算 定义 法则(或几何意义)运算律
加法 求两个向量和
的运算
三角形法则　　　
平行四边形法则
(1)交换律：
a＋b＝b＋a；
(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋
(b＋c)
减法
求a与b的相
反向量－b的
和的运算叫做 a
与b的差 三角形法则
a－b＝a＋(－b)
数乘
求实数 λ与向
量a的积的运
算
|λa|＝|λ||a|，当 λ＞0时，λa
的方向与 a的方向相同；当 λ＜
0时，λa的方向与 a的方向相
反；当 λ＝0时，λa＝0
λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa
＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb
常用结论
(1)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，则AD＝(AC＋AB).
(2)O为△ABC 的重心的充要条件是OA＋OB＋OC＝0.　 　
例2．（1）设
D , E , F
分别为
Δ ABC
的三边
BC ,CA , AB
的中点，则
⃗
EB+
⃗
FC =
(　　)
A.
⃗
BC
B． C．
D．
【答案】C
a
b
= +
 
 b c a
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