专题6.3平面向量的基本定理及坐标表示(精讲）-2021-2022学年高一数学金典同步精讲精练（人教A版2019必修第二册）（解析版）

3.0 envi 2025-05-06 4 4 3.19MB 49 页 3知币
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平面向量的基本定理
【知识点的知识】
1、平面向量基本定理内容：
如果 e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内任一，有且仅有一对实数
λ1、λ2，使．
2、基底：不共线的 e1、e2叫做平面内表示所有向量的一组基底．
3、说明：
（1）基底向量肯定是非零向量，且基底并不唯一，只要不共线就行．
（2）由定理可将任一向量按基底方向分解且分解形成唯一．
【例题1】（2021 春•长清区校级期中）下列各组平面向量中，可以作为平面的基底的是（　　）
A．
e
→
1=(−1，2)，e
→
2=(0，0)
B．
e
→
1=(2，−3)，e
→
2=(−1
2，3
4)
C．
e
→
1=(3，1)，e
→
2=(6，2)
D．
e
→
1=(0，2)，e
→
2=(−4，0)
【分析】分别判断每个选项的两个向量是否共线即可．
【解答】解：对于 A：因为
e
→
2=¿
（0，0），所以
e
→
1
，
是共线向量，所以不能作为平面的基底向量；
对于 B：
e
→
1=¿
（2，﹣3），
e
→
2=¿
（
−1
2
，
3
4
），因为 2
×3
4−
（﹣3）×（
−1
2
）＝0，所以
e
→
1
，
e
→
2
是共线
向量，所以不能作为平面的基底向量；
对于 C：
e
→
1=¿
（3，1），
e
→
2=¿
（6，2），因为 3×2 1×6﹣＝0，所以
e
→
1
，
e
→
2
是共线向量，所以不能作为
平面的基底向量；
对于 D：
e
→
1=¿
（0，2），
e
→
2=¿
（﹣4，0），因为 0×0﹣（﹣4）×2＝8≠0，所以
e
→
1
，
e
→
2
不是共线向量，
所以能作为平面的基底向量；
故选：D．
【点评】本题考查向量是否共线问题，属基础题．
【例题2】（2021 秋•丰台区校级月考）在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E为AD 的中点，若
EB
→
=m AB
→
+n AC
→
，则
m
n=¿
（　　）
A．3 B．
−1
3
C．﹣3 D．
1
3
【分析】利用平面向量的加法和减法法则进行求解．
【解答】解：如图所示，
例题精讲
EB
→
=ED
→
+DB
→
=1
2AD
→
+1
2CB
→
=1
4(AB
→
+AC
→
)+ 1
2(AB
→
− AC
→
)= 3
4AB
→
−1
4AC
→
，
又∵
EB
→
=m AB
→
+n AC
→
，
∴
m=3
4
，n
¿−1
4
，
∴
m
n=−
3，
故选：C．
【点评】本题考查了平面向量的线性运算的应用及平面向量基本定理的应用，属于基础题．
【例题3】（2021 秋•河南期中）如图所示，矩形 ABCD 的对角线相交于点 O，点 E在线段 OB 上且 OE
¿1
3
OB，若
AE
→
=¿
λ
AB
→
+¿
μ
AD
→
（λ，μ∈R），则 λ﹣μ＝（　　）
A．
1
3
B．
−1
3
C．1 D．
2
3
【分析】直接利用向量的线性运算的应用求出结果．
【解答】解：
AE
→
=AO
→
+OE
→
=1
2AD
→
+1
2AB
→
+1
6(AB
→
− AD
→
)= 2
3AB
→
+1
3AD
→
=λ AB
→
+μ AD
→
，
故
λ=2
3
，
μ=1
3
．
故
λ − μ=1
3
．
故选：A．
【点评】本题考查的知识要点：向量的线性运算，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础
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