专题3.7 三点共线证法多，斜率向量均可做-玩转压轴题，突破140分之高三数学解答题高端精品（2019版）（原卷版）

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专题 7 三点共线证法多，斜率向量均可做

【题型综述】

三点共线问题证题策略一般有以下几种：①斜率法：若过任意两点的直线的斜率都存在，通过计算证明过

任意两点的直线的斜率相等证明三点共线；②距离法：计算出任意两点间的距离，若某两点间的距离等于

另外两个距离之和，则这三点共线；③向量法：利用向量共线定理证明三点共线；④直线方程法：求出过

其中两点的直线方程，在证明第 3点也在该直线上;⑤点到直线的距离法：求出过其中某两点的直线方程，

计算出第三点到该直线的距离，若距离为 0，则三点共线.⑥面积法：通过计算求出以这三点为三角形的面

积，若面积为 0，则三点共线，在处理三点共线问题，离不开解析几何的重要思想：“设而不求思想”.

【典例指引】

类型一向量法证三点共线

例1 （2012 北京理 19）（本小题共 14 分）已知曲线 :（）

(Ⅰ)若曲线是焦点在轴上的椭圆，求的取值范围；

(Ⅱ)设=4，曲线与轴的交点为，（点位于点的上方），直线与曲线交于不同的

两点 , ,直线与直线交于点，求证：，，三点共线.

【解析】

类型二斜率法证三点共线

例2.（2017•上海模拟）已知抛物线 y2=4x 的焦点为 F，过焦点 F的直线 l交抛物线于 A、B两点，设 AB 的

中点为 M，A、B、M在准线上的射影依次为 C、D、N．

（1）求直线 FN 与直线 AB 的夹角 θ的大小；

（2）求证：点 B、O、C三点共线．[来源:学科网 ZXXK]

【解析】

类型三直线方程法证三点共线

例3（2017•贵阳二模）已知椭圆 C：=1（a＞0）的焦点在 x轴上，且椭圆 C的焦距为 2．

（Ⅰ）求椭圆 C的标准方程；

（Ⅱ）过点 R（4，0）的直线 l与椭圆 C交于两点 P，Q，过 P作PN⊥x轴且与椭圆 C交于另一点 N，F为

椭圆 C的右焦点，求证：三点 N，F，Q在同一条直线上．

【解析】

类型四多种方法证三点共线

例4.（2017•保定一模）设椭圆 x2+2y2=8 与y轴相交于 A，B两点（A在B的上方），直线 y=kx+4 与该椭圆

相交于不同的两点 M，N，直线 y=1 与BM 交于 G．[来源:Z_xx_k.Com]

（1）求椭圆的离心率；

（2）求证：A，G，N三点共线．

【解析】

【扩展链接】

1.给出 ,等于已知与的中点三点共线;

2. 给出以下情形之一：① ；②存在实数；③若存在实数

,等于已知三点共线；

【新题展示】

1．【2019 北京首都师范大学附属中学预测】在平面直角坐标系中，点在椭圆

上，过点的直线的方程为．

（Ⅰ）求椭圆的离心率；

（Ⅱ）若直线与轴、轴分别相交于两点，试求面积的最小值；

（Ⅲ）设椭圆的左、右焦点分别为，，点与点关于直线对称，求证：点三点共线．

【思路引导】

（Ⅰ）求得椭圆 C的a，b，c，运用离心率公式计算即可得到所求值；（Ⅱ）在直线 l中，分别令 x＝0，y

＝0，求得 A，B的坐标，求得三角形 OAB 的面积，由 P代入椭圆方程，运用基本不等式即可得到所求最

 

BQBPAQAP 



QP,

ACAB //

,AB AC

 





使

, , 1, OC OA OB

     

   

                            

且使

CBA ,,

小值；（Ⅲ）讨论①当 x0＝0时，P（0，±1），②当 x0≠0 时，设点 Q（m，n），运用对称，分别求得 Q的

坐标，运用三点共线的条件：斜率相等，即可得证．

2．【2019 广东深圳 2月调研】在平面直角坐标系中，椭圆的中心在坐标原点，其右焦点为，

且点在椭圆上．

（1）求椭圆的方程；

（2）设椭圆的左、右顶点分别为、、是椭圆上异于，的任意一点，直线交椭圆于另一点，直

线交直线于点，求证：，，三点在同一条直线上．[来源:学科网]

【思路引导】

（1）（法一）由题意，求得椭圆的焦点坐标，利用椭圆的定义，求得，进而求得的值，即可得到椭

圆的标准方程；

（法二）设椭圆的方程为（），列出方程组，求得的值，得到椭圆的标准方程。

（2）设，，直线的方程为，联立方程组，利用根与系数的关系和向量的运算，

即可证得三点共线。

3．【2019 安徽合肥一模】设椭圆 ( )的左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于，

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