广西省南宁市第二中学2022届高三五月月考文科 数学 PDF版答案解析
1
南宁二中 2022 届5月诊断试题答案
数学文科
一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1.【答案】C
【详解】因为
{ }
1,1, 2, 3
AB∪=−
，所以
( )
U
BA =
{}
0, 4
．故选：C．
2.【答案】D
【解】∵
i
i
i
e
i
ii
e
i
i−=
+
=
+
=
π
+
π
=π
π
1
1
1
,
2
sin
2
cos
2
2
此复数在复平面中对应的点（1，
1−
）位于第四象限，故选 D．
3．【答案】C
【详解】
由图 1知，样本中的女生数量多于男生数量，故 A错误；
由图 2知，样本中有理科意愿的学生数量多于有文科意愿的学生数量，故 B错误；
由图 2知，样本中的男生、女生均偏爱理科，故 C正确，D错误；故选：C
4.【答案】B
【详解】三个区帮扶三个城市共
3
3
A6=
种情况，
A区恰好帮扶 D市有
2
2
A2
=
种情况，所以所求概率
21
63
P= =
.
故选：C.
5. 【答案】B
【详解】等比数列
{ }
1
n
a+
的公比
3
2
127 3
19
a
qa
+
= = =
+
，
∴
()
33
52
1 1 9 3 243a aq+= + =× =
，∴
5
242a=
．故选：B．
6.【答案】A
【解答】当方程
22
1
15
xy
kk
+=
−−
表示椭圆时，必有 ，所以 1< k<5 且k≠3；
当1< k<5 时，该方程不一定表示椭圆，例如当 k＝3时，方程变为 x2＋y2＝2，它表示一个圆.
即“1< k<5”是“方程
22
1
15
xy
kk
+=
−−
表示椭圆”的必要不充分条件.故选 A.
7. 【答案】D
【详解】因为
sin cos
44
ππ
θθ
−= +
，
所以
sin cos cos sin cos cos sin sin
4 4 44
ππ ππ
θθθθ
−=−
，即
sin cos cos sin
θθ θθ
−=−
所以
sin cos
θθ
=
，所以
( )( )
22
cos 2 cos sin cos sin cos sin 0
θ θ θ θθθθ
= −=− +=
；故选：D
8. 【答案】B
【解析】如图所示，设 O是AB 的中点，连接 OE，OF，在正方形 ABCD 中，
4BC =
，可
得
2
OB =
，在△ABC 中，可得
OE AC∥
，则 EF 与AC 不平行，选项 A错误；
因为 F是
AB
的中点，所以 OF⊥平面 ABCD，所 以 点 F到平面 ABCD 的距离为 2，选 项 B
正确；
∠ABF 是BF 与平面 ABCD 所成的角，因为 OF⊥OB，且 OF=OB，∠ABF=
4
π
，选项 D错
误；
BF 与AB 不垂直，因此也推不出 BF⊥AC，选项 C错误．故选：B.
2
9.【答案】D
【详解】
由题意，函数
( ) ( )
2
sin , 1f x xg x x= = +
，根据函数图象可得函数图象关于原点对称，所以函数为奇函数，
对于 A中，函数
( ) ( )
2
1 siny f x gx x x= + −= +
不是奇函数，所以 A不符合题意；
对于 B中，函数
() ( )
2
1 siny f x gx x x= − += −
不是奇函数，所以 B不符合题意；
对于 C中，函数
() ( )
( )
2
1 siny f xgx x x= = +
此时函数为奇函数，
又由
2
cos ( 1) sin 2y xx x x
′= ⋅ ++ ⋅
，当
(0, )
2
x
π
∈
时，
0y′>
，此时函数在区间
(0, )
2
x
π
∈
单调递增，而图象中
先增后减，所以 C不符合题意. 故选：D.
10.【答案】D
【详解】方程
22 0
xx
bc
−
+⋅ +=
，即
()
2
2 20
xx
cb+⋅ +=
设
2x
t=
，即转转为方程
2
0t ct b+ +=
甲写错了常数 b，得到的根为 x＝－2或
2
17
log 4
x=
，即甲得到的根为
2
17
log
24
12
1 17
2 ,2
44
tt
−
= = = =
则
12
1 17 9
442
tt c+=+ ==−
，所以
9
2
c= −
乙写错了常数 c，得到的根为 x＝0或x＝1，即乙得到的根为
01
34
2 1, 2 2tt= = = =
所以
34
12 2
tt b× =×==
，所以
2b=
所以方程为
2920
2
tt− +=
，解得
1
2
t=
或
4
t=
，即
1
22
x
=
，或
24
x
=
解得
1x= −
或
2x=
故选：D
11.【答案】A
【解析】记 M为双曲线 C：
( )
22
22
1 0, 0
xy ab
ab
−= > >
的渐近线
0bx ay−=
上的点，因为
2ON BM=
，且
OB BN=
，所以
BOM BMO∠=∠
，
BMN BNM∠=∠
．
所以
NF OM⊥
．因为右焦点
( )
,0
Fc
到渐近线
0bx ay−=
的距离
22
bc
MF b
ba
= =
+
，
所以
OM OA a= =
．所以
BMO BAO∠=∠
，所以
BOM BAO∠=∠
，
所以
Rt AOB Rt OMN≌
，所以
ABO ONM∠=∠
，
又因为
MNB NMB∠=∠
，
ABO NBM∠=∠
．
所以△MNB 为等边三角形，所以
60FNO∠=°
，所以
30MFO∠=°
，
即
tan 60 3
b
a= °=
，所以
2
2
12
b
ea
=+=
．
12. 【答案】C
【解】设点
P
的坐标为
( )
00
, lnxx
1
yx
′=
，当
0
xx
=
时，
0
0
1
x
yx
′=
∴
切线方程为
00
0
1
ln ( )y x xx
x
−= −
，令
0y=
，得
00 0
lnxx x x= −
∴
点
P
的坐标为
( )
00 0
ln , 0
xxx−
01x<<
，
∴
0
ln 0
x<
∴
2
0 000 0000 00 0 0
1 1 11
ln ( ln ) ln ( ln ) ln (ln )
2 2 22
AOP
S x xxx xxxx xx x x=××−=− −=− +
令
2
00 0 0
11
( ) ln (ln )
22
gx x x x x=−+
22
0 0 0 00 0 0 0
0
11111 111
( ) ln (ln ) 2 2 ln (ln ) ln
2222 222
gx x x x x x x x x
x
′=− ⋅− + + ⋅ ⋅ = + −
3
令
0
lntx=
，（
0t<
），
2
1 11
() 0
2 22
ft t t= + −=
解得
1
15
0
2
t−+
= >
（舍去），
2
15
2
t−−
=
∴
()ft
在
15
,2
−−
−∞
单调递增，在
15
,0
2
−−
上单调递减
∴
当
0
15
ln 2
x−−
=
时，
()gx
最大，即
AOP
面积最大，故点
P
的纵坐标为
15
2
−−
.故选：C.
二、填空题（每题 5分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）
13.【答案】
5
2
【解析】因为
()
λ
−⊥
ab b
，所 以
( )
0
λ
− ⋅=abb
，即
2
0
λ
⋅− =ab b
，代入坐标得
10 25 0
λ
−=
，解 得
5
2
λ=
，
故答案为：
5
2
.
14.【答案】-2
【详解】
2 20 2
2 20 2
xy x
xy y
−+= =−
⇒
− −= =−
，设
( )
2, 2A−−
.
画出可行域如下图所示，由图可知 x的最小值为-2
15.【答案】51
【详解】设等差数列
{ }
n
a
的公差为
d
，因为
3 11 13 9aa a
++=
，所以
999
6249a da da d− ++ ++ =
，
即
9
39a=
，即
9
3a=
，所以
1 17
17 9
17( ) 17 17 3 51
2
aa
Sa
+
= = = ×=
．故答案为：51．
16.【答案】②③
【详解】
因为
( )
1f
π
=
，
1
2
f
π
−=
，所以
( )
fx
不关于点
,0
4
π
对称，故①错误；
当
[2 , 2 ]( )x k k kZ
π ππ
∈ +∈
时，
( ) ( ) ( )
cos sin cos sinfx x x x x= −⋅+
，即
()
cos 2
fx x=
，
当
( )
2 ,2 +2 ( )x k k kZ
ππ π π
∈+ ∈
时，
( ) ( ) ( )
cos + sin cos sinfx x x x x= ⋅+
，即
( )
1+ sin 2
fx x=
，
作出
( )
fx
的图象如图所示，
由图象可知
( )
fx
在区间
3,
2
ππ
−−
内单调递增，故②正确；
因为
( ) ( )
12
2fx fx+=−
，所以
()
1
1fx= −
，
( )
21fx = −
，
11
2
2
xk
ππ
= +
，
1
k∈Z
，
22
2
2
xk
ππ
= +
，
2
k∈Z
，
所以
( )
12
2xx kk
ππ
+=+ ∈Z
，故③正确；
由图象可知
( )
fx
的图象不关于
2
xπ
= −
对称，故④错误．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．已知△ABC 中，
,,abc
分别为内角
,,ABC
的对边，且
( ) ( )
2 sin 2 sin 2 sina A bc B cb C=+ ++
.
(1)求角
A
的大小；
(2)设点
D
为
BC
上一点，
AD
是
ABC
的角平分线，且
2AD =
，
3b=
，求
ABC
的面积.
【解析】(1)在△ABC 中，由正弦定理及
( ) ( )
2 sin 2 sin 2 sina A bc B cb C=+ ++
得：
22 2
a b bc c−−=
，..
由余弦定理得
222
1
cos 22
bca
Abc
+−
= = −
，又
0πA<<
，所以
2π
3
A=
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