广西省桂林联盟校2023届高三上学期9月入学统一检测试题 数学（理） 答案

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答案第 1页，共 4页
参考答案：
1~12.BCABDCACAABA
13．
3 5 0x y  
14．
160
15．
2 2
16．
11 1
ea  
17．(1)由
2 2 1cos
2
a b bc ac B 
，可得
2 2 2
2 2 1
2 2
a c b
a b ac bc
ac
 
  
，
得
2 2 2
b c a bc 
，则
2 2 2 1
cos 2 2
b c a
Abc
 
 
，
由于
，所以
π
3
A
．--------------------------------------------------------(6 分)
(2)由
sin 3sinb A B
，可得
sin 3 sina B B
，又
sin 0B
，则
3a
，
则
2 2 2 2 2
2 cos 2a b c bc A b c bc bc bc    
，（当且仅当
b c
时等号成立）
则
3bc
，（当且仅当
3b c 
时等号成立）
则
1 1 3 3 3
sin 3
2 2 2 4
ABC
S bc A  
△
，
即
ABC
面积的最大值为
3 3
4
．--------------------------------------------------------(12 分)
18．（1）因为在 100 人中随机抽取 1人抽到喜欢游泳的学生的概率为
3
5
，所以喜欢游泳的
学生人数为
3
100 60
5
 
.其中女生有 20 人，男生有 40 人，列联表补充如下：
喜欢游泳
不喜欢游泳
合计
男生
40
10
50
女生
20
30
50
合计
60
40
100
--------------------------------------------------------(6 分)
（2）因为
2 2
2( ) 100 (40 30 20 10) 16.667 10.828
( )( )( )( ) 60 40 50 50
n ad bc
Ka b c d a c b d
  
 
   
，所以有
99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关.--------------------------------------------------------(12 分)
19．(1)证明：∵四边形
ABCF
和
ABCD
分别是矩形和菱形，
∴
//AB GE
，
//AB CD
，∴
//GE CD
，∴
C
，
D
，
E
，
G
四点共面．----------------------(5 分)
(2)解：在平面
ABCD
内过点
A
作
AM AD
，以
A
为原点，
AM
，
AD
，
AE
所在直线分别
为
x
，
y
，
z
轴，建立如图所示空间直角坐标系，则
 
0,0,0A
，
 
3, 3, 0C
，
 
0, 2, 0D
，
答案第 2页，共 4页
 
0,0,1E
．∴
 
3,3,0AC
，
 
0, 0,1AE
uuur
，
 
0, 2,1DE  
，
 
3,1, 0DC
．
设平面
AEC
的一个法向量为
 
, ,n x y z
，则
0
0
AC n
AE n
 
 
，即
3 3 0
0
x y
z
 
．
令
1y 
，则
3
1
0
x
y
z
 
．∴
 
3, 1, 0n 
．
设平面
CDE
的一个法向量为
 
, ,m a b c
．则
3 0
2 0
m DC a b
m DE b c
 
 
，令
3a
，可得
 
3, 3, 6m  
．∴
3
cos , 4
m n
m n
m n
 
 
 
 
，显然二面角
A CE D 
为锐角．
∴二面角
A CE D 
的平面角的余弦值为
3
4
．--------------------------------------------------(12 分)
20.(1)由P为椭圆
2 2
2 2 1
x y
a b
 
（
0a b 
）上一点，
1
F
，
2
F
分别是椭圆的左、右焦点，
1 2 4 2PF PF 
，可得，
2 4 2a
，所以
2 2a
，又
2
2
c
ea
 
，则
22
2
c a  
，
所以，
2 2 2 4b a c  
，故椭圆的标准方程为
2 2
1
8 4
x y
 
；------------------(4 分)
(2)由题意可知过
1
F
的直线 l斜率存在且
0k
，可设其方程为
 
2 0y k x k 
，
 
1 1
,A x y
，
 
2 2
,B x y
，则
 
2 2
,C x y
，由
 
2 2
2
1
8 4
y k x
x y
 
 
得：
 
2 2 2 2
1 2 8 8 8 0k x k x k  
，则
2
1 2 2
2
1 2 2
8
1 2
8 8
1 2
k
x x k
k
x x k
 
，所以
1 1 2 1 2 2 2
1 1
2 2 2
2 2
AF C ABC BF C
S S S y x x y x  
 
 
2 1 2 2 2 1
2 2y x x x y x  
 
2 1
2 2k x x 
 
 
2 2
2
1 2 1 2
2
8 8 8
1 2 1 2
2 4 2 4k x x x x k k k
k k
 
 
  
 
 
 
 
2
4 4 4 4 2
1 1
1 2 2 2
2 2
k
kk k
k k
 
 
 
，当且仅当
时，等号成立.
所以，
1
AF C△
面积的最大值为
2
.--------------------------------------------------------(12 分)
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