广西柳州市2022届高三上学期第二次模拟考试数学（理）试题答案

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1
柳州市 2022 届高三第二次模拟考试
理科数学参考答案
一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．）
二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．）
13．
5
； 14．
3
28
； 15．
 
e,0
； 16．
3
33
．
三、解答题（共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．解：（1）完成列联表（单位：人）：
成绩合格
成绩不合格
合计
男性
40
10
50
女性
30
20
50
合计
70
30
100
···················································································································· 2 分
由列联表，
2
K
的观测值
841.3762.4
21
100
30705050
)30102040(100 2
k
，·········· 5 分
∴有 95%的把握认为该市参与此次冬奥知识竞答的市民的成绩与性别有关．················ 6 分
（2）从参与的市民中随机抽取 100 人，有 70 人竞答成绩合格，所以成绩合格的频率为
，
将频率视为概率，从该市所有参与活动的市民中随机抽取一人，
恰好抽到成绩合格的市民的概率为 0.7 ，···························································· 8 分
由题意知
)7.0,10(~ BX
，··············································································· 10 分
∴随机变量
X
的数学期望
77.010)( XE
，···················································· 11 分
方差
1.23.07.010)( XD
．······································································12 分
18．（1）∵点
 
1
,
n n
S S
在直线
)(1
1*
Nnnx
n
n
y
上，
∴
)1(
1
1
nS
n
n
Snn
，·················································································1 分
同除以
1n
，则有
1
1
1
n
S
n
Snn
，·································································· 2 分
∴
1
1
1
n
S
n
Snn
，·························································································· 3 分
∴数列
n
S
n
 
 
 
是以
2
11
1a
S
为首项，
1
为公差的等差数列．·································· 4 分
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
D
D
B
B
C
A
C
A
D
C
A
2
（2）由（1）可知
3)1()1(2 nn
n
Sn
，·················································· 5 分
∴
nnSn3
2
，·························································································· 6 分
∴当
1n
时，
231
11 Sa
；····································································· 7 分
当
2n
时，
42)1(3)1(3 22
1nnnnnSSa nnn
，··················· 8 分
经检验，当
1n
时也成立．∴
)(42 *
Nnnan
．········································9 分
∵
1 2 1n n n
T b b b b
 
 
n
nnT 22424222022 4321
··············································· 10 分
 
15432 224242220222
n
nnT
··········································· 11 分
 
14321 2242222222222
nn
nnT
 
1223 2n
nnT
·················································································· 12 分
19．（1）证明：设
AC
的中点为
O
，连接
BO
，
PO
.
由题意，得
2PA PB PC 
，
1PO
，
1AO BO CO
.
∵在
PAC
中，
PA PC
，
O
为
AC
的中点，
∴
PO AC
，·································································································1 分
∵在
POB
中，
1PO
，
1OB
，
2PB
，
2 2 2
PO OB PB 
，
∴
PO OB
.···································································································2 分
又∵
AC OB O
，························································································· 3 分
,AC OB
平面
ABC
，∴
PO
平面
ABC
，··························································· 4 分
∵
PO
平面
PAC
，∴平面
PAC
平面
ABC
.······················································· 5 分
（2）解：由（1）知，
BO PO
，
BO AC
，
BO
平面
PAC
，
∴
BMO
是直线
BM
与平面
PAC
所成的角，························································· 6 分
且
1
tan BO
BMO OM OM
 
，∴当
OM
最短时，
BMO
最大，
即当
M
是
PA
的中点时，直线
BM
与平面
PAC
所成的角最大，································· 7 分
由
PO
平面
ABC
，
OB AC
，所以
PO OB
，
PO OC
，
于是以
OC
，
OB
，
OD
所在直线分别为
x
轴，
y
轴，
z
轴建立如图示空间直角坐标系，
则
 
0,0,0O
，
 
1,0,0C
，
 
0,1,0B
，
 
1,0,0A
，
 
0,0,1P
，
1 1
,0,
2 2
M 
 
 
，
 
1, 1,0BC
 
，
 
1,0, 1PC
 
，
3 1
, 0,
2 2
MC
 
 
 
 
.·················································· 8 分
设平面
MBC
的法向量为
 
1 1 1
, ,m x y z
，则
由
0
0
m BC
m MC
 
 
得：
1 1
1 1
0
3 0
x y
x z
 
 
.
令
11x
，得
11y
，
13z
，即
 
1,1,3m
.··························································· 9 分
设平面
PBC
的法向量为
 
2 2 2
, ,n x y z
，
由
0
0
 
 


n BC
n PC
得：
2 2
2 2
0
0
x y
x z
 
 
，
令
1x
，得
1y
，
1z
，即
 
1,1,1n
.······························································ 10 分
5 5 33
cos , 33
33
m n
m n m n
 
 
 
 
.······································································11 分
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