甘肃省兰州市第六十一中学2022-2023学年高三上学期一模试题 数学（理）

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兰州市第六十一中学 2023 届高三第一次质量检测
理 科 数 学
注意事项：
1.
本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证
号、考场
号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，
在规定的位
置贴好条形码，
2.
回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦
干
净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.
3.
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
4.
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的.
1. 已知集合 A= {x | },B= {x |x² - 5x<0},则 A∩B= ( )
A.(- 1,0) B.(0,5) C.(0,1) D.(1,5)
2.已知复数满足 z =2,则 | z | · = ( )
B. C. D.
3.若 ,则 ( )
A.
B. C. D.7
4.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ( )
A.
6-π
B
.6- 4π
C.9-π D.9-4π
5.下列有关命题的说法中正确的是 （ ）
A.
B. “x=1”是“x≥1”的必要不充分条件
C.
D. 若命题 p 为“ x∈R,使 x²≥0”,则命题 p 的否定为“ x∈R,都有 x²≤0”
6. 的展开式中只有第 5 项的二项式系数最大，若展开式中所有项的系数和为 256,则
a
的值为
A.1 B.- 1 C.3 D .
1或- 3
7. 如图，正方体 - 的棱长为 1,动点 E 在线段
上，F、M 分别是 AD、CD 的中点，CF 与 BM 交于 O 点.有以下 4 个结
论：① FM// ;②BM⊥平面 ;③ 存在点 E,使得平面 BEF//平
面;④ 三棱锥 B-CEF 的体积为定值，其中不正确的个数是
( )
A.1 B.2
C.3 D.4
8.在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一
半， 如此六日过其关”.其大意是：有人要去某关口，路程为 378 里，第一天健步行走，从第
二天起 由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半， 一共走了六天，才到目的地.则下列说
法：①此
人第四天走了二十四里路；②此人第二天走的路程比后五天走的路程少九十里；③此人第二
天走的路程占全程 ;④ 此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的 8 倍.其中正确的有
(
)
A.①③ B.①②④ C.②③④ D.③④
9.已知直线 y=x-2 与抛物线 y²=2px相交于 A,B 两点，满足 OA⊥OB,则抛物线的方程
为
(
)
A.y²= 2x B.y²= 4x C.y²=6x D.y²=8x
10.某市某中学高三(4)班同学小李要测量一座山的高度.当地有一座山，高度
为 0T,小李同学先在地面选择一点 A,在该点处测得这座山在西偏北 25°
方 向，且山顶 T 处的仰角为 30°;然后从 A 处向正西方向走 700 米后到
达地面 B
处，测得该山在北偏西 5°方向，山顶 T 处的仰角为 60°.同学们建立了如图模
型，则山高 OT 为 ( )
A . 20 米 B.50 米 C . 200 米 D . 100 米
11.已知 P,A,B,C,D 是球 0 的球面上的五个点，四边形 ABCD为梯形，AD//BC,AB=DC=
一 …
侧视图
正视图
俯视图
(
AD= 1 , BC= PA= 2 , PD⊥平 面 ABCD, 则 球 O 的 表面 积 为 ( )
A.6π B.7π C.4π D.8π
恒成立的实数
(
)
B.
D.
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13.已 知 向 量 a = ( 1 ,
1 ) , b = ( m , 4 ) ,若a * ( b - a ) = 4 ,则| b | =
14.若 x、y 满足约束条件 ,则 z= x²+y² 的最小值为
15.已知抛物线 C:y²=2px(p>0)的焦点 F 与椭[ 的右焦点重合，点 M 是抛物线 C
的准线上任意一点，直线 MA,MB 分别与抛物线 C 相切于点 A,B.设直线 MA,MB 的斜率分别为
16.在△ABC 中，角 A,B,C 所对的分别为 a,b,c, 向量 m= , 向量 n =(cos B,
cos C),且m //n,则 的最大值为
三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17 ～21 题为必考题，每
个试 题考生都必须作答；第 22 ～23 题为选考题，考生根据要求作答.
(一)必考题：共 60
分. 17. (12 分)
已知等差数列 为递增数列， = 36,且 成等比数列.
(1)求数列 的通项公式；
(2)令 b, ,若 为数列 的前 n项和，且存在 ,使得 ≥0 成立，
求实数λ的取值范围.
足
18. (12
12.若函数f( x ) = , 则满
的取值范围为
A.
C.
如图所示，矩形 ABCD 和梯形 BEFC 所在平面互相垂直，B
.
(1)求证：平面 DEF⊥平面 DCE;
(2)当 AB 的长为何值时，二面角 A-EF-C 的大小为
60°.
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