云南师范大学附属中学2021届高三下学期高考适应性月考卷（九）数学（理）答案

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理科数学参考答案
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B B C C D A A C D B C D
【解析】
1． ，则 ，故选 B．
2．设 ，由 ，得 ，所以 ，所以
复数 在复平面内对应的点为 ，即复数 z在复平面上对应的点位于第四象限，故选
B．
3．根据平移变换不改变向量的长度和方向，故选 C．
4．∵若 是 R上周期为 5的奇函数，∴ ， ，∴
， ，∴ ，故选 C．
5． 基 本 事 件 总 数 为 ， 所 取 的 3个 球 中 没 有 1个 红 球 的 基 本 事 件 为 ， 所 求 概 率 为
，故选 D．
6．B选项中，还可以是 与 相交，B错误；C选项中，m和n还可以是异面直线，C错误；D选
项中，还可以是 ，D错误，故选 A．
7．设线段 的中点为 M，连接 OM， ．∵线段 的中点 M坐标为
，∴点 P在双曲线 C的右支上．如图 1所示：∵原点 O为线段
的 中点 ， ∴ OM ，即 ， ．由
双曲线的定义可知， ，即 ， ，
在 中， ，即 ，整理得 ， ，
故选 A．
8．∵ ，由“函数 在 上单
调递增”，可得： ，故选 C．
9． 函 数 在 R上 无 极 值 在 R上 无 变 号 零 点
图1
，故选 D．
10．由题设和抛物线定义知： ，设直线 AB 的倾斜角为 ，
则 ， ，所以 ，解得 ，
故选 B．
11 ． ∵ ， 构 造 函 数 ， ， 令
， 则 ， ∴ 在 上 单 减 ， ∴
， 故 ， ∴ 在 上 单 减 ， ∴
， 同 理 可 得
，故 ，故选 C．
12．如图 2，10 个半径为 1的小球放进棱长为 a的正四面体 ABCD
中，成三棱锥形状，有 3层，则从上到下每层的小球个数依次
为：1， ， 个，当 a取最小值时，从上到下每层
放在边缘的小球都与正四面体的侧面相切，底层的每个球都与
正四面体底面相切，任意相邻的两个小球都外切，位于每层正三角状顶点的所有上下相邻小球
的球心连线为一个正四面体 EFGH，则该正四面体的棱长为 ，可求得其高为
， 所 以 正 四 面 体 ABCD 的 高 为
，进而可求得其棱长 a的最小值为 ，故选 D．
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
题号 13 14 15 16
答案
【解析】
13．∵ ，令 ，即得
的系数为 ．
14．因为△ABC 是直角三角形，所以其垂心为直角顶点 ，其外心为斜边 AB 的中点 M，故
图2
△ABC 的“欧拉线”即为直线 MC，由题设知直线 MC 即为正切曲线 以点 为
切点的切线，又点 在斜边 AB 上，故△ABC 的外心 M即为点 ，又可得切线斜
率 ， 故 其 “ 欧 拉 线 ” 的 方 程 为 ， 令
，∴ ．
15．法一：由三角形的射影定理知： ，又知 ，∴
， 又 知 ， 由 正 弦 定 理 得 ：
．
法二：由正、余弦定理再结合题设求得 ．
16．如图 3，由入射角等于反射角原理知：分别顺次以
正六边形的 BC， ， ， ， 边为对
称轴作 5次对称变换后可知，小球的运行轨迹即为
线段 PR，过 R作直线 AB 的垂线 RS，垂足为 S，则
由题设易知： ， ，故
．
三、解答题（共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分 12 分）
（1）证明：因为 ， ，
所以， ， ．
又 ，所以 ，
故数列 为等比数列，首项为 1，公比为 ．
所以 ，故 ．
图3
云南师范大学附属中学2021届高三下学期高考适应性月考卷（九）数学（理）答案.doc

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