天津市南开区2021届高三下学期3月模拟考试（一）数学试卷 含解析

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2021 年天津市南开区高考数学模拟试卷（一）（一模）
一、选择题（共 9小题）.
1．设全集 U＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，集合 S＝{﹣3，0，1}，T＝{﹣1，2}，则
∁U（S∪T）等于（　　）
A．∅B．{﹣2，3}
C．{﹣2，﹣1，2，3} D．{﹣3，﹣1，0，1，2}
2．已知 x，y∈R，则“x＞1，y＞1”是“xy＞1”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．函数 f（x）的部分图象如图所示，则 f（x）的解析式可能是（　　）
A．B．
C．D．
4．某校抽取 100 名学生做体能测试，其中百米测试中，成绩全部介于 13 秒到 18 秒之间，将
测试结果分为五组：第一组[13，14），第二组[14，15），……，第五组[17，18）．如图
是按上述分组方法得到的频率分布直方图，若成绩低于 a即为优秀，如果优秀的人数为 14
人，则 a的估计值是（　　）
A．14 B．14.5 C．15 D．15.5
5．已知一个圆锥的底面半径为 2，高为 3，其体积大小等于某球的表面积大小，则此球的体
积是（　　）
A．B．C．4πD．
6．已知 a＝40.3，b＝0.34，c＝log310，则（　　）
A．b＞c＞aB．a＞c＞bC．c＞a＞bD．c＞b＞a
7．已知函数 满足 f（x1）﹣f（x2）＝4，且|x1﹣x2|的最小
值为 ，则 的值为（　　）
A．B．1 C．D．2
8．设直线 x﹣y+m＝0（m≠0）与 x轴交于点 C，与双曲线 ＝1（a＞0，b＞0）的
两条渐近线分别交于点 A，B．若 A为BC 中点，则该双曲线的离心率是（　　）
A．B．C．D．2
9．已知函数 ，若方程 f（x）﹣ax2＝0有5个不等实根，则实数 a
的取值范围是（　　）
A．B．C．D．
二、填空题（共 6小题）.
10．i是虚数单位，复数 z＝ ，则 z的共轭复数 ＝　
　 ．
11．二项式（ ﹣ ）6的展开式中常数项为　
　 ．
12．已知过点（1，1）的直线与圆 x2+y2﹣4y＝0相交于 A，B两点，则|AB|的最小值为　
　 ．
13．对某种型号的仪器进行质量检测，每台仪器最多可检测 3次，一旦发现问题，则停止检
测，否则一直检测到 3次为止，设该仪器一次检测出现问题的概率为 0.2，则检测 2次停
止的概率为　
　 ，设检测次数为 X，则 X的数学期望为　
　 ．
14．已知 a＞0，b＞0，a+b+c＝1，则 的最大值是　
　 ．
15．在△ABC 中，∠A＝60°，AC＝2， ＝ | |，则 AB＝　
　 ；若 ＝ ，
＝ ，λ＞0，则 的最大值为　
　 ．
三、解答题：本大题共 5题，共 75 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
16 ． 在 △ ABC 中 ， 内 角 A，B，C所 对 的 边 分 别 为 a，b，c， 已 知
B．
（1）求角 C的大小；
（2）若 b＝1，c＝ ，求 cos2（B﹣C）的值．
17．如图，四棱锥 P﹣ABCD 中，PD⊥平面 ABCD，PD＝DC＝2AD＝2，AD⊥DC，∠BCD
＝45°．
（1）求 PA 与平面 PBC 所成角的正弦值；
（2）求二面角 B﹣PC﹣D的正弦值；
（3）设 M为PB 上一点，且 PM＝2MB，若 AM∥平面 PCD，求 BC 的长．
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