天津市和平区2020-2021学年高二下学期期末考试数学试题 【精准解析】

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天津市和平区 2020-2021 学年高二下学期数学期末考试试卷
一、单选题
1.下列运算正确的是（ ）
A.
(−1
x)
'
=−1
x2
 B.
(x3+1)'=3x2+1
 C.
(log2x)'=1
xln2
 D.
(cos x)'=sin x
2.现从 3名男医生和 4名女医生中抽取两人加入“援鄂医疗队”，用 A表示事件“抽到的两名医生性别相
同”，
B
表示事件“抽到的两名医生都是女医生”，则
P(B∨A)=¿
（ ）
A.
1
3
B.
C.
2
3
D.
3
4
3.已知某种商品的广告费支出 x（单位：万元）与销售额 y（单位：万元）之间有如下对应数据：
x2 4 5 6 8
y30 40 5
060 70
根据上表可得回归方程
^
y=
^
b x+
^
a
，计算得
^
b=7
，则当投入 10 万元广告费时，销售额的预报值为
（）
A.75 万元B.85 万元
C.99 万元
D.105 万元
4.若
(❑
√
x+2
x2)
n
展开式中只有第 6项的二项式系数最大，则展开式的常数项是（ ）
A.360 B.180 C.90 D.45
5.中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍．
如图，是利用算筹表示数
1 9
的一种方法．例如：3可表示为“
≡
”，26 可表示为“
¿⊥
”．现有
6根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以用
1 9
这 9数字表示两位数的个数为（ ）
A.13B.14C.15D.16
6.设函数
f(x)=2sin (x+π
3)(x∈R)
，下列结论中错误的是（ ）
A.
f(x)
的一个周期为
2π
B.
f(x)
的最
大值为 2
C.
f(x)
在区间
(π
6，2π
3)
上单调递减D.
f(x+π
3)
的一个零点为
x=π
6
7.已知函数
f(x)=1
2a x2+2ax +ln x
在区间
(0,+∞)
上为增函数，则实数 a的取值范围是（ ）
A.
[0,1]
B.
¿
C.
(−1,+∞)
D.
(−1,1)
8.如图，一环形花坛分成 A，B，C，D四块，现有 4种不同的花供选种，要求在每块里种 1种花，且相邻
的2块种不同的花，则不同的种法总数为（　　）
A.96 B.84 C.60 D.48
9.已知函数
f(x)={ ln x , x ≥1
1
e(x+2)(x − a), x <1
（
a
为常数，
e
为自然对数的底数）的图象在点
A(e , 1)
处的切线与该函数的图象恰好有三个公共点，则实数
a
的取值范围是（ ）
A.
−3−2❑
√
2<a<−3+2❑
√
2
B.
a<−2
或
−3+2❑
√
2<a<2
3
C.
−3+2❑
√
2<a
 D.
a<−3−2❑
√
2
或
−3+2❑
√
2<a<2
3
二、填空题
10.求值
cos 330 °=¿
________.
11.随机变量 ξ服从正态分布 N(1,σ2)，已知 P(ξ<0)=0.3，则 P(ξ<2)=________.
12.已知随机变量
ξ B(n , p)
，且
Eξ=6
，
Dξ=3
，则
n=¿
________.
13.
(3x − 1)5
的展开式中，设各项的系数和为 a， 各项的二项式系数和为 b， 则
a
b=¿
________.
14.已知函数
f(x)=Asin(ωx+φ)
(
A>0,ω>0
，
− π <φ<0
)的部分图象如图所示，则
f(x)
的解析
式为
f(x)=¿
________.
15.用1，2，3，4，5，6组成六位数(没有重复数字)，要求任何两个相邻数字的奇偶性不同，且 1和2相
邻，这样的六位数的个数是________.
三、解答题
16.已知
α , β
为锐角，
tan α=4
3
，
cos (α+β)=−
❑
√
5
5
。
（1）求
cos 2 α
的值。
（2）求
tan(α − β)
的值。
17.从4名男生和 2名女生中任选 3人参加演讲比赛，设随机变量
ξ
表示所选 3人中女生的人数.
（1）求
ξ
的分布列；
（2）求
ξ
的数学期望；
（3）求“所选 3人中女生人数
ξ ≤1
”的概率.
18.已知
f(x)=x3+a x2+bx +c
在
x=1
与
x=−2
3
时都取得极值．
（1）求
a , b
的值；
（2）若
f(−1)= 3
2
，求
f(x)
的单调区间和极值。
19.已知函数
f(x)=2❑
√
3 tan(x
2+π
4)cos2(x
2+π
4)−sin(x+π)
，
（1）求函数
f(x)
的定义域和最小正周期；
（2）若将函数
f(x)
图象上所有点的横坐标缩短为原来的
1
2
倍，纵坐标不变，然后再向右平移
φ
(
φ>0
)个单位长度，所得函数的图象关于
y
轴对称，求
φ
的最小值.
20.设
f(x)=x − a ex
(
a∈R
)，
x∈R
，
（1）求
f(x)
的单调区间：
（2）已知函数
y=f(x)
有两个零点
x1
，
x2
，且
x1<x2
，
（i）求
a
的取值范围；
（ii）证明：
x2
x1
随着
a
的减小而增大.
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