天津市第三中学2020-2021学年高一下学期期中考试数学试卷 含解析

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2020-2021 学年天津三中高一（下）期中数学试卷
一、选择题（每小题 3分，共 27 分）.
1．若复数 z＝（x2﹣1）+（x﹣1）i为纯虚数，则实数 x的值为（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．﹣1或1
2．在复平面内，复数 z对应的点是 Z（1，﹣2），则复数 z的共轭复数 ＝（　　）
A．1+2iB．1﹣2iC．2+iD．2﹣i
3．若向量 ＝（1，0）， ＝（2，1）， ＝（x，1）满足条件 3﹣ 与 共线，则 x的值（
）
A．1 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1
4．设 ， 是非零向量，“ ＝| || |”是“ ”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．若向量 、 满足：| |＝1，（ +）⊥ ，（2 + ）⊥ ，则| |＝（　　）
A．2 B．C．1 D．
6．如果在△ABC 中，a＝3， ，c＝2，那么 B等于（　　）
A．B．C．D．
7．一个圆锥截成圆台，已知圆台的上下底面半径的比是 1：4，截去小圆锥的母线长为
3cm，则圆台的母线长为（　　）
A．3cm B．9cm C．12cm D．6cm
8．设△ABC 的内角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，若 bcosC+ccosB＝asinA，则△ABC
的形状为（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定
9．如图，在平行四边形 ABCD 中，∠BAD＝ ，AB＝2，AD＝1，若 M、N分别是边
AD、CD 上的点，且满足 ＝ ＝λ，其中 λ∈[0，1]，则 • 的取值范围是（　　）
A．[﹣3，1] B．[﹣3，﹣1] C．[﹣1，1] D．[1，3]
二、填空题（共 6小题）.
10．若复数 ，则|z|＝　
　 ．
11．若向量 ， 满足（ +） ＝7，且| |＝ ，| |＝2，则向量 与 夹角为　
　 ．
12．在△ABC 中，已知 a＝8，B＝60°，A＝45°，则 b等于　
　 ．
13．等腰直角三角形直角边长为 2，以斜边所在直线为轴旋转，其余各边旋转一周形成几何
体，则该几何体的体积为　
　 ．
14．已知圆柱的高为 2，它的两个底面的圆周在半径为 2的同一个球的球面上．则球的体积
与圆柱的体积的比值为　
　 ．
15．如图，平面内有三个向量 、 、 ，其中与 与 的夹角为 120°， 与 的夹角
为30°，且| |＝| |＝1，| |＝ ，若 ＝λ+μ（λ，μ∈R），则 λ+μ的值为
．
三、解答题（共 4题，第 16、17、18 题每小题 12 分，第 19 题13 分，共 49 分.）
16．已知 ＝（1，2）， ＝（﹣3，1）．
（Ⅰ）求 ；
（Ⅱ）设 的夹角为 θ，求 cosθ的值；
（Ⅲ）若向量 与 互相垂直，求 k的值．
17．如图，在▱ABCD 中，M，N分别在 BC，AB 上，且 BM＝2MC，AN＝3NB， ＝ ，
＝ ．
（1）试用 ， 表示 ， ；
（2）若| |＝4，| |＝3，∠BAD＝60°，求 • 的值．
18．在△ABC 中，角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，且 ．
（1）求角 C的大小；
（2）如果 a+b＝6， ＝4，求 c的值．
19．△ABC 的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，已知 2cosC（acosB+bcosA）＝c．
（1）求 C；
（2）若 c＝ ，△4BC 的面积为 ，求△ABC 的周长．
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