山西省太原市第五中学2020-2021学年高二下学期4月阶段性检测 数学（理）答案(理)

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高二数学月考选择题答案(4.1)
一、单选题（本大题共 12 小题，共 48.0 分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 D D D A B B A B B A A A
二、单空题（本大题共 4小题，共 16.0 分）
13.
f
(
2n
)
>n+2
2
; 14.
9
8+π
2
15. 2 16.
①
三、解答题（本大题共 3小题，共 36.0 分）
17.已知数列
{an}
的前 n项和为
Sn
，满足
an=Sn
n(2n −1)
，且
a1=1
3
．
求
a2
，
a3
；
(2)
猜想数列
{an}
的通项公式，并用数学归纳法加以证明．
解
(1)a2=S2
2×(2×2−1)=a1+a2
6
， 又
a1=1
3
，则
a2=1
15
， 类似地，求得
a3=1
35
．
(2)
由
a1=1
1×3
，
a2=1
3×5
，
a3=1
5×7
，
……
， 猜想
an=1
(2n −1)(2n+1).
用数学归纳法证明如下：
①
当
n=1
时，由
(1)
可知猜想成立．
②
假设当
n=k¿
N
❑∗
且
k ≥ 1¿
时猜想成立， 即
ak=1
(2k −1)(2k+1).
当
n=k+1
时，
ak+1=Sk+1
(k+1)(2k+1)
，
∵Sk=k(2k − 1)ak
¿k(2k− 1)1
(2k −1)(2k+1)=k
2k+1
，
Sk+1=(k+1)(2k+1)ak+1
，
∴ak+1=Sk+1− Sk=(k+1)(2k+1)ak+1−k
2k+1
，
∴k(2k+3)ak+1=k
2k+1
，
∴ak+1=1
(2k+1)(2k+3)
¿1
[2(k+1)−1][2(k+1)+1]
.∴
当
n=k+1
时猜想也成立． 由
①②
可知，猜想对任意
n∈
N
❑∗
都成立．
∴{an}
的通项
公式为
an=1
(2n −1)(2n+1)
．
18.某同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业，经过市场调查，生产一小型电子
产品需投入固定成本 2万元，每生产 x万件，需另投入流动成本
C(x)
万元，当年产量小于
7万件时，
C(x)= 1
3x2+2x¿
万 元
¿
；当年产量不小于 7万件时，
C(x)=6x+ln x+e3
x−17 ¿
万元
¿.
已知每件产品售价为 6元，假若该同学生产的产品当年
全部售完．
写出年利润
P(x)¿
万元
¿
关于年产量
x¿
万件
¿
的函数解析式；
¿
注：年利润
¿
年销售
收人
−
固定成本
−
流动成本
(2)
当年产量约为多少万件时，该同学的这一产品所获年利润最大？最大年利润是多少？
¿
取
e3≈20 ¿
解：
产品售价为 6元，则 x万件产品销售收入为 6x万元．
依题意得，当
0<x<7
时，
，
当
x ≥ 7
时，
P=6x −(6x+ln x+e3
x−17)−2=15 −ln x − e3
x
．
(2)
当
0<x<7
时， ，
∴
当
x=6
时，
P
(
x
)
的最大值为
P=10 ¿
万元
¿
．
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