山西省2021届高三下学期3月高考考前适应性调研考试（一模）理科数学试题答案与解析

3.0 envi 2024-09-30 4 4 4.45MB 13 页 3知币

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A卷选择题答案

一、选择题

1. C 【解析】因为 x² + x- 12 < 0，即(x+ 4) ( x- 3) < 0，解得 -4 < x< 3，所以 A= { x| - 4 < x< 3 }.所以 A∩B= { x| - 4 <

x< 0 }.

2. A 【解析】由三角函数的定义得 sin α= - 2 5

5，

cos α=5

5，所以 sin 2α= 2 sin αcos α= - 4

3. D 【解析】由高斯函数的定义可知其值域为 Z，故 A正确；

∵

[ ]

0.5 = 0,

[ ]

-0.5 = -1，

∴y=

[ ]

x不是奇函数，故 B

正确；易知

( )

x+ 1 -

[ ]

x+1 =x-

[ ]

x，所以 y=x-

[ ]

x是一个周期为 1的周期函数，故 C正确；当 0 ≤ x< 1 时，

[ ]

x= 0，所以 y=

[ ]

x在R上不单调，故 D错误 .

4. C 【解析】根据题意，录取率为 600

2000 × 100% = 30%，故应录取成绩最高的 30% 的报名者 .

根据频率直方图可知，80~100 分占总体的比例可估计为 20%，70~100 分占总体的比例可估计为 40%，

故录取分数线在 70~80 之间，

设录取分数线为 x，则 80 - x

80 - 70 × 0.2 + 0.15 + 0.05 = 0.3，

解得 x= 75.

5. B 【解析】指数函数 y=

( )

图象位于 x轴上方，据此可区分两函数图象 .二次函数 y=ax2-bx =

( )

ax -b x，有

零点 b

a, 0. A，B选项中，指数函数 y=

( )

在R上单调递增，故 b

a> 1，故 A错误、B正确 . C，D选项中，指数函数 y=

( )

在R上单调递减，故 0 < b

a< 1，故 C，D错误 .

6. D 【解析】由题意不妨设双曲线的渐近线在坐标系中的位置如图所示：

由tanα=

2tan α

1 - tan2α

可得 tan α

2=1

2或tan α

2= -2

（舍），当双曲线的焦点在 x轴上时，

e=c

a=a2+b2

a2= 1 + b2

a2= 1 + tan2α

2=5

2；

当双曲线的焦点在 y轴上时，

e=c

a=a2+b2

a2= 1 + b2

a2= 1 + 1

tan2α

= 5；

故选 D.

（第 6题答图）

秘密★启用前

2021年山西省高考考前适应性测试

理科数学参考答案详解及评分说明

理科数学试题答案第 1页（共 9页）

评分说明：

1. 考生如按其他方法或步骤解答，正确的，同样给分；有错的，根据错误的性质，参照评分说明中相应的规定

评分 .

2. 计算题只有最后答案而无演算过程的，不给分；只写出一般公式但未能与试题所给的具体条件联系的，不

给分 .

7. A 【解析】因为a，b，

c∈R+，且ab +ac = 4，所以 2

a+2

b + c +32

a + b + c =2 (a + b + c)

a(b + c)+32

a + b + c =a + b + c

2+32

a + b + c ≥8.

由a + b + c

2=32

a + b + c，得 a+b+c= 8，所以 b+c=8-a，代入 ab +ac = 4，得 a= 4 ± 2 3.又因为 a> 4，所

以a= 4 + 2 3，

b+c= 4 - 2 3.此时“=”成立，故所求最小值为 8.

8. C 【解析】如图，过 B作点 A所在侧棱的垂线，垂足为 E，连接 DE，易知平面 BDE ∥长方

体的底面，故二面角 A-BD -E即为所求二面角 .

由题意可知 ∠ADE = ∠ABE = 30°，

DE =BE = 2，

AE =2 3

3，

AD =AB =4 3

3，

BD = 2 2，

取BD 中点 O，则由 ED =EB,AD =AB 可知 EO ⊥BD,AO ⊥BD，

故∠AOE 即为二面角 A-BD -E的平面角，

于是 tan∠AOE =AE

OE =AE

2BD

2 3

2× 2 2

3即为所求 .

9. A 【解析】第一次操作去掉的区间长度为 1

4；

第二次操作去掉 3个长度为 1

42的区间，长度和为 1

42× 3；

第三次操作去掉 3²个长度为 1

43的区间，长度和为 1

43×3²；

…，

第n次操作去掉 3n－1个长度为 1

4n的区间，长度和为 1

4n×3n－1.

于是进行了n次操作后，所有去掉的区间长度之和为Sn=1

4+1

42× 3 + 1

43× 3² + …+ 1

4n× 3n- 1 =

êù

( )

1- 3

= 1-

( )

由题意知：1－

( )

≥19

20，化简得 n≥1 + lg2

2lg2 - lg3 ≈ 10.4，

又n为整数，∴n的最小值为 11.

10. D 【解析】设圆锥的底面半径为 r，球的半径为 R，则由已知得 πr2

4πR2=2

9，则 r=2 2

球心到底面的距离为 h=R2-r2=1

3R，所以圆锥的高为 4

3R或2

3R，得体积比为 8

27 或4

27.

11. B 【解析】解法一：

( )

x= 0，得

logax=1

ax，即 |

|log1

( )

.由题意知函数 y=|

|log1

x图象与函数 y=

( )

图象

有两个交点 .

当a> 1 时，

y=|

|log1

x,y=

( )

草图如下，显然有两交点 .

|log 1

( )

0 < a< 1

|log 1

( )

a> 1

（第 11 题答图）

（第 8题答图）

理科数学试题答案第 2页（共 9页）

理科数学试题答案第 3页（共 9页）

当0 < a< 1 时，函数 y=|

|log1

x图象与函数 y=

( )

图象有两个交点时，注意到 y=

( )

,y= log1

x互为反函数，

图象关于直线 y=x对称，可知函数 y=

( )

图象与直线 y=x相切，设切点横坐标 x0，则

( )

=x0

( )

ln 1

a= 1

，

解得

{

x0= e,

a= e-1

综上，

a的取值范围为

{ }

e-1

e⋃

( )

1, + ∞ ，选 B.

解法二：当a> 1 时，符合题意（见解法一）；

当0 < a< 1 时，由函数图象可知 g(x) = |

|log1

x与h(x) =

( )

在x∈ (0,1) 内有唯一公共点，

于是它们在(0, + ∞) 上有两个公共点的充要条件是在 x∈ (1, + ∞) 上有唯一公共点，

即x∈ (1, + ∞) 时，

g(x) = log1

x与h(x) =

( )

在唯一点(m,n)处有共同的切线，

由

g(m) = n,

h(m) = n,

g′(m) = h′(m),

，得

log1

m=n,……①

( )

=n,……②

m·1

ln 1

( )

ln 1

a,……③

①即

( )

=m，……④

由②④知，若 m>n，则 n=

( )

=m矛盾，

若m<n，则 n=

( )

=m矛盾，故只可能 m=n，

于是

( )

=n=m，……⑥，

⑥代入③，整理得 1

m·1

ln 1

=mln 1

a，即 mln 1

a= 1，

m=1

ln 1

，

代入⑥，得

( )

ln 1

a=1

ln 1

，取对数，得 1

ln 1

·ln 1

a= -ln

( )

ln 1

a= 1，解得 a= e-1

12. D 【解析】对an=an- 2 ⋅an- 1

2an- 2 -an- 1

的两边取倒数，得 1

=2an- 2 -an- 1

an- 2 ⋅an- 1

an- 1

-1

an- 2

，

即1

-1

an- 1

-1

an- 2

，故数列

{ }

为等差数列，其首项 1

= 1，公差为 1

-1

3，

故1

=1 + 4

3(n- 1) = 4n - 1

3，

an=3

4n- 1，于是 a2021 =3

8083，所以 p+q= 3 + 8083 = 8086.

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