高中数学人教B版必修4教学教案：2.3.1 向量数量积的物理背景与定义 含答案

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2.3.1 向量数量积的物理背景与定义
向量作为一种运算工具，其知识体系是从实际的物理问题中抽象出来的，它在解决几何
问题中的三点共线、垂直、求夹角和线段长度、确定定比分点坐标以及平移等问题中显示出了
它的易理解和易操作的特点。
一、总体设想：
本节课的设计有两条暗线：一是围绕物理中物体做功，引入数量积的概念和几何意义；
二是围绕数量积的概念通过变形和限定衍生出新知识――垂直的判断、求夹角和线段长度的
公式。教学方案可从三方面加以设计：一是数量积的概念；二是几何意义和运算律；三是两
个向量的模与夹角的计算。
二、教学目标：
1． 知识和技能：
(1)使学生了解向量的数量积的抽象根源。
(2)使学生理解向是的数量积的概念：
两个非零向量的夹角；定义；本质；几何意义。
(3)使学生了解向量的数量积的运算律
(4)掌握向量数量积的主要变化式： ；
2． 过程与方法：
(1)从物理中的物体受力做功，提出向量的夹角和数量积的概念，然后给出两个非零向量
的夹角和数量积的一般概念，并强调它的本质；接着给出两个向量的数量积的几何意
义，提出一个向量在另一个向量方向上的投影的概念。
(2)给出向量的数量积的运算律，并通过例题具体地显示出来。
(3)由数量积的定义式，变化出一些特例。
3． 情感、态度和价值观：
(1)使学生学会有效学习：抓住知识之间的逻辑关系。
三、重、难点：
【重点】数量积的定义，向量模和夹角的计算方法
【难点】向量的数量积的几何意义
四、教学方案及其设计意图：
平面向量的数量积，是解决垂直、求夹角和线段长度问题的关键知识，其源自对受力物
体在其运动方向上做功等物理问题的抽象。于是在引导学生学习平面向量数量积的概念时，
要围绕物理方面已有的知识展开，这是使学生把所学的新知识附着在旧知识上的绝好的机会 。
（如图）首先说明放置在水平面上的物体受力 F的作用在水 平方向
上的位移是 s，此问题中出现了两个矢量，即数学中所谓的 向量，
这时物体力 F的所做的功为 W，这里的是 矢 量 F
和s的夹角，也即是两个向量夹角的定义基础，在定义两个 向量的
夹角时，要使学生明确“把向量的起点放在同一点上”这一重要条件，并理解向量夹角的范
围。以此为基础引出了两非零向量 a, b的数量积的概念： ， 是记法，
是定义的实质――它是一个实数。按照推理，当 时，数量积为正数；
当 时，数量积为零；当 时，数量积为负。
向量数量积的几何意义在证明分配律方向起着关键性的作用。其几何意义实质上是将乘
1
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