高中数学人教B版必修4教学教案：2.3.1 向量数量积的物理背景与定义 （4） 含答案

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2．3　平面向量的数量积
2．3.1　向量数量积的物理背景与定义
[学习目标]　
1. 了解平面向量数量积的物理背景，即物体在力 F的作用下产生位移 s所做的功.
2. 掌握平面向量数量积的定义，理解其几何意义.
3. 会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直．
[知识链接]
1．如图，一个物体在力 F的作用下产生位移 s，且力 F与位移 s的夹角为 θ，那么力 F所做
的功 W是多少？
答　W＝|F||s|cos θ.
2．向量的数量积与数乘向量的区别是什么？
答　向量的数量积 a·b是一个实数，不考虑方向；数乘向量 λa是一个向量，既有大小，又有
方向．
要点一　两个向量的夹角
(1)已知两个非零向量 a，b(如图所示)，作OA＝a，OB＝b，则∠ AOB
称作向量 a和向量 b的
夹角，记作〈a，b〉，并规定它的范围是[0，π]．
(2)当〈a，b〉＝时，我们说向量 a和向量 b互相垂直，记作 a⊥b.在讨论垂直问题时，规定零
向量与任意向量垂直．
思考：在正 △ABC 中，<AB ，BC> = ________，<AB，BC> = ________，<AB，BC> =
________．
规律方法　两向量共起点和共终点时夹角就是对应的三角形的内角，首位顺次相连时夹角为
对应内角的补角．
要点二　向量在轴上的正射影．
1
如图，已知向量 a和轴 l， 作OA＝a，过点 O，A分别作轴 l的垂线，垂足分别为
O1，A1，则向量O1A1叫做向量 a在轴 l上的正射影(简称射影)，该射影在轴 l上的坐标，称作
a在轴
l
上 的数量或在轴
l
的方向上 的数量．
OA＝a在轴 l上正射影的坐标记作 al，向量 a的方向与轴
l
的正向所成的角为 θ，则由三
角函数中的余弦定义有 al＝|a|cos θ.
例1 (1)已知 =5,〈，l〉=60°,求 在 l上正射影的数量 .
(2)已知 =5,〈，l〉=120°,求 在 l上正射影的数量 .
解(1) =5cos60°=5× =
(2) =5cos120°=5×(-cos60°) =5×(- ) = -
思考：当 θ为锐角，钝角，0°，90°，180°角时，向量在轴上正射影的数量是怎样的？
(1)当θ为锐角时，正射影和轴 l同向， ＝|a|cosθ>0.
2
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