高中数学人教B版必修4教学教案：2.3.1 向量数量积的物理背景与定义 （3） 含答案

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2.3.1 向量数量积的物理背景与定义 (1)
一、引入新课：
在物理学中力做功的计算里涉及哪些量？是如何计算的？
思考：1．如右图，一个物体在力 的作用下产生位移 ，且力 与位移 的夹角为 ，
那么力 所做的功 是多少？
结论：
2．功是由力和位移两个向量所确定，数学上，我们把“功”称为向量 与 的“数量
积”．一般地，对于非零向量 与 的数量积是指什么？
【设计意图】在物理学中力做功的计算里涉及力 在位移 方向上的分力以及力 与位移
的夹角，引出本节所学内容
二、概念形成：
1．两个向量的夹角
已知两个非零向量 、 ， = ，=，则∠AOB 称作向量 和向量 的夹角,
记作<，>. 并规定 0≤ < ，> ≤π.
几点说明：
（1）求两向量的夹角，应保证两个向量有公共起点，若没有，须平移使它们有公共起点；
（2）〈a ，b〉=〈b ，a〉；
（3）范围 0≤〈a ，b〉≤π；
（4）〈a ，b〉=0 时, a、b同向；
〈a ，b〉=π 时，a、b反向；
〈a ，b〉= 90°时， a ⊥b.
（5）规定：在讨论垂直问题时，零向量与任意向量垂直.
练一练：等边三角形中，求
（1） 与 的夹角；
（2） 与 的夹角。
【设计意图】正确确定两个向量的夹角是求向量数量积的关键，注意：①两个向量有无公共始
点②两个向量的方向 .
2．向量在轴上的正射影
（1）概念：
已知向量 和轴 l，作 =，过点 O，A分别作轴 l的垂线，垂足分别为 O1，A1，则向量
1
叫做向量 在 轴 l上的正射影.
a
l
O
1
A
1
a
x
l
A
O
（2）正射影的数量：
向量 的正射影在轴 l上的坐标，称作 在轴 l上的数量或在轴 l方向上的数量.
记作： al
向量 的方向与轴 l的正方向所成的角为 θ，
则有
cos
l
a
a
几点说明：
1. a在轴 l上的数量或在轴 l方向上的数量是一个数量，不是向量.
2. 当为锐角时，数量为正值；
3. 当为钝角时，数量为负值；
4. 当为直角时，数量为 0；
5. 当 = 0°时，数量为 |a|；
6. 当 = 180°时，数量为 -|a|.
特别强调：向量的正射影是一个向量．
练一练：
已知轴 1，如图
（1）向量 =5，<，>=60o，求 在 1上的正射影的数量 OA1.
（2）向量 =5 ，<，>=120o， 求 在 1上的正射影的数量 OB1
60
120
A
B
l
O
3.平面向量数量积的定义
已知两个非零向量 与 ，我们把数量 叫做 与 的数量积（或内积），记
作 ，即 ，其中 是 与 的夹角．
2
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