高中数学人教B版必修4教学教案：2.3.1 向量数量积的物理背景与定义 （1） 含答案

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2.3.1 向量数量积的物理背景与定义
平面向量的数量积是继向量的线性运算之后的又一重要运算，也
是高中数学的一个重要概念，它是沟通代数、几何与三角函数的一种
重要工具，在每年高考中也是重点考查的内容。向量作为一种运算工
具，其知识体系是从实际的物理问题中抽象出来的，它在解决几何问
题中的三点共线、垂直、求夹角和线段长度、确定定比分点坐标以及平
移等问题中显示出了它的易理解和易操作的特点。
一、总体设想：
本节课的设计有两条暗线：一是围绕物理中物体做功，引入数量
积的概念和几何意义；二是围绕数量积的概念通过变形和限定衍生出
新知识――垂直的判断、求夹角和线段长度的公式。
二、教学目标：
1.了解向量的数量积的抽象根源。
2.了解平面的数量积的概念、向量的夹角
3.数量积与向量投影的关系及数量积的几何意义
三、重、难点：
【重点】平面向量数量积的概念、用平面向量数量积表示向量的模及夹
角；
【难点】平面向量数量积的应用平面向量数量积的定义及运算律的理解，
平面量数量积的应用
四．教学过程设计
活动一：创设问题情景，引出新课
1、提出问题 1：请同学们回顾一下，我们已经研究了向量的哪些
运算？这些运算的结果是什么？
答：向量的加法、减法及数乘运算。这些运算的结果是向量。
很好，那既然两个向量可以进行加法、减法运算。我们自然就想：
两个向量能进行乘法运算吗？如果能，结果也是向量吗？
【设计意图】1.让学生明白新旧知识的联系性。2.明确研究向量的
数量积这种运算的途径。
活动二：探究数量积的概念
1、给出有关材料并提出问题 2：
（1）如图所示，一物体在力 F 的作用下产生位移 S，
那么力 F 所做的功：W= |F| |S| cos 。
（2）这个公式有什么特点？请完成下列填空：
① W（功）是 量，② F（力）是 量，
③ S（位移）是 量，④ α 是 。
（3）你能用文字语言表述“功的计算公式”吗?
1
S
F
α
答：功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积
这就给我们一种启示：能否把功 W 看成两个向量 F 和 S 的一种运算结
果呢？为此我们引入平面向量数量积，今天，我们就来学习
平面向量的数量积。
2.平面向量的夹角
已知非零向量
ａ
与
ｂ
，作 ＝
ａ
，＝
ｂ
，则∠
ＡＯ
Ｂ
＝
θ
（０≤
θ
≤
π
）叫
ａ
与
ｂ
的夹角.
， 是记法， 是定义的实质――它是一
个实数。按照推理，当 时，数量积为正数；当 时，数量积
为零；当 时，数量积为负。
例题：等边三角形中，求
（1）向量 与向量 的夹角；
（2）向量 与向量 的夹角。
解：（1）
< , >
=60o
（2）
< , >
=120o
60
(2)
(3)
DAB
AD BC
AB CD
AB DA
 
              
 
 
练习：在平行四边形ABCD中，
已知
求：(1) 与 夹角
与 夹角
与 夹角
3 向量在轴上正射影的概念
定义：向量 = 与轴
l
的正向所成角为
θ
，过
O
，
A
分别作轴
l
的
垂线，垂足分别为
Ol
，
Al
，则向量 叫做向量 在轴
l
的正射影该
射影在轴
l
上的坐标，称作 在轴
l
上的数量。
投影也是一个数量，它的符号取决于角的
大小。当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为
2
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