湖南省衡阳市2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题 Word版含解析

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2024-2025 学年湖南省衡阳市高二（上）第一次月考数学试题
一、单选题：本题共 7小题，每小题 5分，共 35 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合
A={x∨log2x ≤ 1}
，
B={ y∨y=2x, x ≤2}
，则()
A.
A∪B=B
B.
A∪B=A
C.
A ∩ B=B
D.
A∪(∁RB)=R
2.椭圆
x2
a2+y2=1(a>1)
的离心率为
，则
a=¿
()
A.
2
√
3
3
B.
√
2
C.
√
3
D.2
3.已知直线 m：
(a − 2)x+ay − 2=0
和直线 n：
x+3ay +1=0
，则“
a=7
3
”是“
m/¿n
”的()
A.充要条件 B.必要不充分条件
C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件
4.在平面直角坐标系 xOy 中，若满足
x(x−k)≤ y (k − y)
的点
(x , y )
都在以坐标原点为圆心，2为半径的圆
及其内部，则实数 k的取值范围是()
A.
−
√
2≤k≤2
√
2
B.
−
√
2≤ k ≤
√
2
C.
−2
√
2≤ k ≤
√
2
D.
¿∪¿
5.已知向量
a
⃗
与
b
⃗
是非零向量，且满足
a
⃗
− b
⃗
在
b
⃗
上的投影向量为
−2b
⃗
,∨a
⃗
∨¿2∨b
⃗
∨¿
，则
a
⃗
与
b
⃗
的夹角为()
A.
120∘
B.
150∘
C.
60∘
D.
90∘
6.已知椭圆
x2
a2+y2
b2=1(a>b>0)
的右焦点为
F1
，左焦点为
F2
，若椭圆上存在一点 P，满足线段
P F1
相切于
以椭圆的短轴为直径的圆，切点为线段
P F1
的中点，则该椭圆的离心率为()
A.
√
5
3
B.
2
3
C.
√
2
2
D.
5
9
7.已知等边
△ABC
的边长为
√
3
，P为
△ABC
所在平面内的动点，且
¿PA
⃗
∨¿1
，则
PB
⃗
⋅PC
⃗
的取值范围是
()
A.
[−3
2,9
2]
B.
[−1
2,11
2]
C.
[1,4]
D.
[1,7]
二、多选题：本题共 4小题，共 23 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
8.如图，正方体
ABCD− A1B1C1D1
的棱长为 2，设 P是棱
C C1
的中点，Q
是线段
C1P
上的动点
¿
含端点
¿
，M是正方形
BC C1B1
内
¿
含边界
¿
的动点，
且
A1M/¿
平面
D1AP
，则下列结论正确的是()
A.存在满足条件的点 M，使
A1M⊥A D1
B.当点 Q在线段
C1P
上移动时，必存在点 M，使
A1M⊥BQ
C.三棱锥
C1− A1PM
的体积存在最大值和最小值
D.直线
A1M
与平面
BC C1B1
所成角的余弦值的取值范围是
[1
3,1
2]
9.关于方程
m x2+n y2=1
，下列说法正确的是()
A.若
m>n>0
，则该方程表示椭圆，其焦点在 y轴上
B.若
m=n>0
，则该方程表示圆，其半径为
√
n
C.若
n>m>0
，则该方程表示椭圆，其焦点在 x轴上
D.若
m=0
，
n>0
，则该方程表示两条直线
10.古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点 A、B的距离之比为定值
λ(λ ≠ 1)
的点的轨迹是
圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系 xOy 中，已知
O(0,0)
，
A(2,0)
，点 P满足
PA
PO =
√
2
，
设点 P的轨迹为圆 C，下列结论正确的是()
A.圆C的方程是
¿
B.过点 A且斜率为
1
2
的直线被圆 C截得的弦长为
4
√
30
5
C.圆C与圆
¿
有四条公切线
D.过点 A作直线 1，若圆 C上恰有三个点到直线 l距离为
√
2
，该直线斜率为
±
√
7
7
11.已知椭圆 C：
x2
a2+y2
b2=1(a>b>0)
的左、右焦点分别为
F1
，
F2
，过
F2
的直线 l与C交于 P，Q两点，
若
¿F2Q∨¿
：
¿PQ∨¿
：
¿F1Q∨¿1
：4：5，则()
A.
P F1⊥P F2
B.
△Q F1F2
的面积等于
a2
6
C.直线 l的斜率为
√
2
2
D.C的离心率等于
√
2
2
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15 分。
12.若一个圆柱底面半径为 2，轴截面对角线为 5，则这个圆柱侧面展开图的对角线长为______.
13.设直线
l1
：
x+3y − 7=0
与直线
l2
：
x− y+1=0
的交点为 P，则 P到直线 l：
x+ay +2−a=0
的距离的
最大值为______.
14.设 I、G分别是
△ABC(AB ≠ AC)
的内心和重心，若
GI ⊥BC
于F，则以 B、C为焦点且过点 A的椭圆
的离心率是______.
四、解答题：本题共 5小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.
¿
本小题 15 分
¿
已知圆
C1
是以点
(0,0)
和点
(2,0)
为直径端点的圆，圆
C2
是以点
(0,0)
和点
(0,2)
为直径端点的圆
.(1)
求圆
C1
，
C2
的方程；
(2)
已知两圆相交于 A、B两点，求直线 AB 的方程及公共弦
¿AB∨¿
的长.
16.
¿
本小题 15 分
¿
在
△ABC
中，角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，已知
(a+b+c)(a+b − c)−3ab=0.
¿
Ⅰ
¿
求C；
¿
Ⅱ
¿
若
C<A<π
2
，求
a+b
c
的取值范围.
17.
¿
本小题 15 分
¿
如图，在棱长为 4的正方体
OABC − O′ A ′ B ′ C ′
中，E，F分别是 AB，BC 上的动点，且
AE=BF .
(1)
求证：
A ′ F ⊥C ′ E
；
(2)
当三棱锥
B′ − BEF
的体积取得最大值时，求平面
B′ EF
与平面 BEF 的夹角的正切值．
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