湖南省长沙市师大附中2024-2025学年高三上学期第三次月考数学试题 Word版含答案

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湖南师大附中 2025 届高三月考试卷（三）
数学
时量：120 分钟满分：150 分
得分：________________
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1.集合 的真子集个数是（ ）
A.7 B.8 C.15 D.16
2.“ ”是“ ”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.已知角 的终边上有一点 的坐标是 ，其中 ，则 （ ）
A. B. C. D.
4.设向量 ， 满足 ， ，则 等于（ ）
A. B.2 C.5 D.8
5.若无论 为何值，直线 与双曲线 总有公共点，则 的取值范围是
（ ）
A. B.
C. ，且 D. ，且
6.已知函数 的图象关于原点对称，且满足 ，且当 时，
，若 ，则 等于（ ）
A. B. C. D.
7.已知正三棱台 所有顶点均在半径为 5的半球球面上，且 ， ，则该
三棱台的高为（ ）
A.1 B.4 C.7 D.1 或7
8.北宋数学家沈括博学多才、善于观察.据说有一天，他走进一家酒馆，看见一层层垒起的酒坛，不禁想到：
“怎么求这些酒坛的总数呢？”经过反复尝试，沈括提出对于上底有 个，下底有 个，共 层的堆积
物（如图所示），可以用公式 求出物体的总数，这就是所谓的
“隙积术”，相当于求数列 ， 的和.若由
小球堆成的上述垛积共 7层，小球总个数为 238，则该垛积最上层的小球个数为（ ）
A.2 B.6 C.12 D.20
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分.
9.若 ，则下列正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10.对于函数 和 ，下列说法中正确的有（ ）
A. 与 有相同的零点 B. 与 有相同的最大值点
C. 与 有相同的最小正周期 D. 与 的图象有相同的对称轴
11.过点 的直线与抛物线 交于 ， 两点，抛物线 在点 处的切线
与直线 交于点 ，作 交 于点 ，则（ ）
A.
B.直线 恒过定点
C.点 的轨迹方程是
D. 的最小值为
选择题答题卡
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 得分
答案
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15 分.
12.已知复数 ， 的模长为 1，且 ，则 ________.
13.在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， 已知 ， ， ，则
________.
14.若正实数 是函数 的一个零点， 是函数 的一个大于
e的零点，则 的值为________.
四、解答题：本题共 5小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分 13 分）
现有某企业计划用 10 年的时间进行技术革新，有两种方案：
贷款 利润
A方案 一次性向银行贷款 10 万元 第1年利润 1万元，以后每年比前一年增加 的利润
B方案 每年初向银行贷款 1万元 第 1年利润 1万元，以后每年比前一年增加利润 3000 元
两方案使用期都是 10 年，贷款 10 年后一次性还本付息（年末结息），若银行贷款利息均按的复利计
算.
（1）计算 10 年后，A方案到期一次性需要付银行多少本息？
（2）试比较A、B两方案的优劣.
（结果精确到万元，参考数据： ， ）
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