湖南省长沙市长郡中学2025届高三上学期数学一轮复习新定义、创新题专练 Word版含答案

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长郡中学 2025 届高三数学
（新定义、创新题专练）
姓名：___________ 班级：___________
1．定义二元数 ，将所有的二元数按照从小到大排列后构成数列 .
(1)求 ；
(2)对于给定的 ，是否存在 ，使得 ， 成等差数列？若
存在求出 满足的条件；若不存在，请说明理由；
(3)若 ，求 .
2．已知有限集 ，若 ，则称 A为“完全集”．
(1)判断集合 是否为“完全集”，并说明理由；
(2)若集合 为“完全集”，且 a，b均大于 0，证明：a，b中至少有一个大于 2；
(3)若A为“完全集”，且 ，求 A．
3．已知函数 ， ．定义新函数 ．
（1）当 时，讨论函数 的单调性；
（2）若新函数 的值域为 ，求 的取值范围．
4．信息熵是信息论中的一个重要概念．设随机变量 和 的分布列分别为： ， ，其中
．定义 的信息熵： ， 和 的“距离”： ．
(1)若 ，求 ；
(2)已知发报台只发出信号 和 ，接收台只收到信号 和 ．现发报台发出信号 的概率为 ，由于通信信号受到
干扰，发出信号 接收台收到信号 的概率为 ，发出信号 接收台收到信号 的概率也为 ．
（ⅰ）若接收台收到信号为 ，求发报台发出信号为 的概率；
（ⅱ）记 和 分别为发出信号和收到信号，证明： ．
5．中国女排是中国各体育团队中成绩突出的体育团队之一，曾是世界上第一个“五连冠”得主，并十度成为世界
冠军，2023 年在杭州第 19 届亚运会上女排再度获得冠军．她们那种团结协作、顽强拼搏的精神极大地激发了中国
人的自豪、自尊和自信，为我们在新征程上奋进提供了强大的精神力量．如今，女排精神广为传颂，家喻户晓，
各行各业的人们在女排精神的激励下，为中华民族的腾飞顽强拼搏．某中学也因此掀起了排球运动的热潮，在一
次排球训练课上，体育老师安排 4人一组进行传接球训练，其中甲、乙、丙、丁四人刚好围成一个矩形（如图），
已知当某人控球时，传给其相邻同学的概率为 ，传给对角线上的同学的概率为 ，由甲开始传球．
(1)求第 3次传球是由乙传给甲的概率；
(2)求第 次传球后排球传到丙手中的概率；
(3)若随机变量 服从两点分布，且 ， ， ，…， ，则 ，记前
次（即从第 1次到第 次传球）中排球传到乙手中的次数为 ，求 ．
6．已知椭圆 的左、右焦点分别为 为上顶点，离心率 为 ，直线与圆
相切.
(1)求椭圆 的标准方程;
(2)椭圆方程 ，平面上有一点 . 定义直线方程 是椭圆 在点
处的极线.
①若 在椭圆 上，证明: 椭圆 在点 处的极线就是过点 的切线;
②若过点 分别作椭圆 的两条切线和一条割线，切点为 ，割线交椭圆 于 两点，过点
分别作椭圆 的两条切线，且相交于点 . 证明: 三点共线.
7．一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列的第一个位
置上的数叫做这个数列的第 1项，常用符号表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第 2项，常用符号表示，
，第 个位置上的数叫做这个数列的第 项，常用符号表示.定义：一个正整数 称为“漂亮数”，当且仅
当存在一个数列 ，满足①②③：① 都是正整数；②；③
.
(1)写出最小的“漂亮数”；
(2)当 时，求出所有的“漂亮数” .
8．已知椭圆 的离心率为 ，且过点 ．若斜率为 的直线与椭圆 相切于点 ，
过直线 上异于点 的一点 ，作斜率为 的直线与椭圆 交于 两点，定义 为点 处的切割比，记
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