湖南省长沙市长郡中学2025届高三上学期数学一轮复习小题精练12 Word版含解析

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长郡中学 2025 届高三数学复习
小题精练（12）
一、单选题
1．长沙市 9月前 10 天的空气质量指数为 35，54，80，86，72，85，58，125，111，58，
则这组数据的第 70 百分位数是（）
A．86 B．85.5 C．85 D．84.5
2．若复数 且 是方程 的一个根，则 （）
A．B．C．D．
3．已知单位向量 ， 的夹角为 ，则向量 在 方向上的投影向量为（）
A．B．
C．D．
4．设 a，b是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，若 ， ， ，则
“ ”是
⃗
a⊥
⃗
b
的（）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．若 ，则 的大小关系是（）
A．B．
C．D．
6．已知体积为 的球 与正四棱锥的底面和 4个侧面均相切，已知正四棱锥的底面边
长为 .则该正四棱锥体积值是（）
A．B．C．D．
7．已知函数 在 处取得最值，且 在 上恰有两个
极值点，则 （）
A．4 B．10 C．D．
8．“布朗运动”是指悬浮在液体或气体中的微小颗粒所做的永不停息的无规则运动，在如
图所示的试验容器中，容器由三个仓组成，某粒子做布朗运动时每次会从所在仓的通道口
中等可能随机选择一个到达相邻仓，且粒子经过 次随机选择后到达 2号仓的概率为 ，
已知该粒子的初始位置在 2号仓，则 （）．
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，P是C上的任意一点，则
（）
A．C的离心率为 B．
C． 的最大值为 D．使 为直角的点 P有4个
10．已知函数 ，则下列结论正确的是（）
A．函数 的单调递增区间是 B．函数 的值域是
C．函数 的图象关于 对称 D．不等式 的解集是
11．化学中经常碰到正八面体结构（正八面体是每个面都是正三角形的八面体），如六氟
化硫（化学式 ）的分子结构、金刚石等.如图，将正方体六个面的中心连线可得到一个
正八面体 ，已知该正八面体的棱长为 2，则（）
A．
B．该正八面体的体积为
C．该正八面体外接球的表面积为
D．若 P为棱 上的动点，则 的最小值为
三、填空题
12． 的展开式中， 的系数是．（用数字作答）
13．已知函数 ，则 在 处的切线方程为.
14．我国南北朝时期的数学家祖暅提出体积的计算原理（祖暅原理）：“幂势既同，则积
不容异．”“势”即是几何体的高，“幂”是截面积，意思是：如果两等高的几何体在同
高处的截面积相等，那么这两个几何体的体积相等．已知双曲线 的焦点在 轴上，离心
率为 ，且过点 ，则双曲线的渐近线方程为．若直线 与 在第一象限
内与双曲线及其渐近线围成如图阴影部分所示的图形，则该图形绕轴旋转一周所得几何
体的体积为．
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